Bài 2.10 trang 70 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:
a] [SAC] và [SBD];
b] [SAB] và [SCD];
c] [SAD] và [SBC]
Giải:
[h.2.28]
a]
Ta có:
\[\left\{ \matrix{
S \in \left[ {SAC} \right] \hfill \cr
S \in \left[ {SB{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow S \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SB{\rm{D}}} \right]\]
Giả sử:
\[AC \cap B{\rm{D}} = O \Rightarrow \left\{ \matrix{
O \in \left[ {SAC} \right] \hfill \cr
O \in \left[ {SB{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow O \in \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SB{\rm{D}}} \right] \cr
& \Rightarrow \left[ {SAC} \right] \cap \left[ {SB{\rm{D}}} \right] = SO \cr} \]
b] Ta có :
\[\left\{ \matrix{
S \in \left[ {SAB} \right] \hfill \cr
S \in \left[ {SC{\rm{D}}} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow S \in \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SC{\rm{D}}} \right]\]
Ta lại có
\[\left\{ \matrix{
AB \subset \left[ {SAB} \right] \hfill \cr
C{\rm{D}} \subset \left[ {SC{\rm{D}}} \right] \hfill \cr
AB\parallel C{\rm{D}} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SC{\rm{D}}} \right] = Sx\] và \[S{\rm{x}}\parallel AB\parallel CD\].
c] Lập luận tương tự câu b] ta có \[\Rightarrow \left[ {SAD} \right] \cap \left[ {SBC} \right] = Sy\]và \[Sy\parallel AD\parallel BC\].
Bài 2.11 trang 70 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh ABvà AClần lượt lấy các điểm M và Nsao cho . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [DBC] và [DMN].
Giải:
[h.2.29]
\[\left\{ \matrix{
M \in AB \hfill \cr
N \in AC \hfill \cr} \right. \Rightarrow MN \subset \left[ {ABC} \right]\]
Trong tam giác ABCta có:
\[{{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AC}} \Rightarrow MN\parallel BC\]
Hiển nhiên \[D \in \left[ {DBC} \right] \cap \left[ {DMN} \right]\]
\[\left\{ \matrix{
BC \subset \left[ {DBC} \right] \hfill \cr
MN \subset \left[ {DMN} \right] \hfill \cr
BC\parallel MN \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ {DBC} \right] \cap \left[ {DMN} \right] = Dx\]và \[Dx\parallel BC\parallel MN\]
Bài 2.12 trang 70 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Cho I và Jtương ứng là trung điểm của BCvà AC, M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.
a] Tìm giao tuyến dcủa hai mặt phẳng [MIJ] và [ABD]
b] Gọi Nlà giao điểm của BDvới giao tuyến d, K là giao điểm của INvà IM. Tìm tập hợp điểm Kkhi Mdi động trên đoạn AD [M không là trung điểm của AD].
c] Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng [ABK] và [MIJ].
Giải:
[h.2.30]
a]
\[\left\{ \matrix{
M \in \left[ {MIJ} \right] \hfill \cr
M \in AD \Rightarrow M \in \left[ {ABD} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in \left[ {MIJ} \right] \cap \left[ {ABD} \right]\]
Ta cũng có:
\[\left\{ \matrix{
IJ\parallel AB \hfill \cr
IJ \subset \left[ {MIJ} \right] \hfill \cr
AB \subset \left[ {ABD} \right] \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ {MIJ} \right] \cap \left[ {ABD} \right] = d = Mt\] và \[Mt\parallel AB\parallel IJ\]
b] Ta có: \[Mt\parallel AB \Rightarrow Mt \cap BD = N\]
\[IN \cap JM = K \Rightarrow \left\{ \matrix{
K \in IN \hfill \cr
K \in JM \hfill \cr} \right.\]
Vì \[K \in IN \Rightarrow K \in \left[ {BC{\rm{D}}} \right]\]
Và \[K \in JM \Rightarrow K \in \left[ {AC{\rm{D}}} \right]\]
Mặt khác \[\left[ {BC{\rm{D}}} \right] \cap \left[ {AC{\rm{D}}} \right] = C{\rm{D}}\]do đó \[K \in C{\rm{D}}\]. Do vậy Knằm trên hai nửa đường thẳng Cmvà Dnthuộc đường thẳng CD. [ Để ý rằng nếu M là trung điểm của ADthì sẽ không có điểm K.]
c] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
K \in \left[ {ABK} \right] \hfill \cr
K \in IN \Rightarrow K \in \left[ {MIJ} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left[ {ABK} \right] \cap \left[ {MIJ} \right]\]
Mà
\[\left\{ \matrix{
AB \subset \left[ {ABK} \right] \hfill \cr
IJ \subset \left[ {MIJ} \right] \hfill \cr
AB\parallel IJ \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ {ABK} \right] \cap \left[ {MIJ} \right] = Kx\] và \[K{\rm{x}}\parallel AB\parallel IJ\]