Bài 2.24 trang 65 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho tứ diện ABCD có \[AD \bot [ABC]\]và \[BD \bot BC\]. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành ? Hãy kể tên các hình nón đó.
Hướng dẫn làm bài
Tứ diện ABCD có \[\widehat {BAD} = {90^0}\] nên \[\widehat {ABD} = \alpha \]là một góc nhọn. Khi quay các cạnh của tứ diện đó xung quanh cạnh AB thì cạnh BD tạo thành một hình nón tròn xoay đỉnh B có trục là AB, cạnh AD vuông góc với AB tạo thành đáy của hình nón đó.
Mặt khác theo giả thiết ta có \[BD \bot BC\]nên \[AB \bot BC\]. Ta có \[\widehat {BAC} = \beta \]là một góc nhọn. Do đó khi quay các cạnh của tứ diện xung quanh cạnh AB thì cạnh AC tạo thành một hình nón tròn xoay đỉnh A có trục là AB, còn cạnh BC tạo thành đáy của hình nón.
Như vậy khi quay tất cả các cạnh của tứ diện xung quanh trục AB thì các cạnh BD và AC tạo thành hai hình nón.
Bài 2.25 trang 65 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy bằng a và có đường cao h.
a] Một hình trụ có các đường tròn đáy tiếp xúc với các cạnh của tam giác đáy được gọi là hình trụ nội tiếp trong lăng trụ. Hãy tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp đó.
b] Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Đường thẳng AI cắt hình trụ nội tiếp nói trên theo một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.
Hướng dẫn làm bài:
a] Hình trụ nội tiếp trong lăng trụ tam giác đều có đường tròn đáy tiếp xúc tại trung điểm các cạnh của tam giác đáy. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, r là bán kính đáy của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ, ta có: \[AI = {{a\sqrt 3 } \over 2}\].
Do đó, \[r = {{a\sqrt 3 } \over 6}\]
Ta có diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp lăng trụ là:
\[{S_{xq}} = 2\pi rl = 2\pi {{a\sqrt 3 } \over 6}.h = {{\sqrt 3 \pi ah} \over 3}\]
b] Ta có mặt phẳng [AAI] là mặt phẳng qua trục hình trụ. Mặt phẳng này cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật IKKI. Đoạn AI cắt KK tại M nên cắt hình trụ theo đoạn IM.
Ta có: \[{{KM} \over {AA'}} = {{IK} \over {IA}} = {2 \over 3}\Rightarrow KM = {2 \over 3}h\]
Xét tam giác vuông IKM ta có:\[I{M^2} = I{K^2} + K{M^2} = {{3{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9} = {{3{a^2} + 4{h^2}} \over 9}\]
Vậy\[IM = {{\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} } \over 3}\]
Bài 2.26 trang 65 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.
Hướng dẫn làm bài:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và A , B, C là các điểm tiếp xúc của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu. Ta có AA và AM là hai tiếp tuyến nên AM = AA. Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB.
Mặt khác BM = BB, ta suy ra AA = BB
Vì SA = SB nên SA + AA = SB + BB hay SA = SB.
Tương tự, ta chứng minh được SB = SC
Do đó SA = SB = SC.
Mặt khác AB = 2BM = 2BN = BC = 2CN=2CP = CA
Vậy AB = BC = CA và ABC là một tam giác đều nên là một hình chóp đều. Ta có đường cao kẻ từ S có chân H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC.