Câu 23 trang 40 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC trong đó BC là cạnh lớn nhất.
a] Vì sao các góc B và C không thể là góc vuông hoặc góc tù?
b] Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. So sánh AB + AC với BH + CH rồi chứng minh rằng AB + AC > BC.
Giải
a] Giả sử \[\widehat B \ge 90^\circ\]=> AC > BC
[Trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất]
Trái giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất
Giả sử \[\widehat C \ge 90^\circ \]=> AB > BC
[Trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất]
Trái với giả thiết BC là cạnh lớn nhất
Vậy \[\widehat B,\widehat C\]là các góc nhọn.
b] Ta có điểm H nằm giữa B và C => BH + HC = BC [1]
Ta có: AB > BH [đường xiên lớn hơn đường vuông góc]
AC > CH [đường xiên lớn hơn đường vuông góc]
Cộng từng vế ta có : B + AC > BH + CH [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AB + AC > BC
Câu 24 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất.
Giải
Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d.
Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB [1]
Lấy điểm C bất kỳ trên d [C # C]
Nối AC, BC.
Trong ABC ta có:
AC + BC > AB [bất đẳng thức tam giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: AC + CB > AC + CB
Vậy C là điểm cần tìm.
Câu 25 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Ba thành phố A, B C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC = 30km, AB = 70km
a] Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 40km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao?
b] Cũng hỏi như trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 100km.
Giải
Để giải quyết câu hỏi của bài toán ta cần xét khoảng cách BC.
Trong ABC theo bất đẳng thức của tam giác và hệ quả ta có:
AB AC < BC < AB + AC
Thay giá trị: AB = 70km, AC = 30km
\[ \Rightarrow \]70 30 < BC < 70 + 30 => 40 < BC < 100
a] Nếu máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 40km thì ở B không nhận được tín hiệu vì BC > 40.
b] Nếu máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 100km thì ở B nhận được tín hiệu vì BC < 100.
Câu 26 trang 41 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 2
Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C.
Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.
Giải
Trong ABD ta có:
AD < AB + BD [bất đẳng thức tam giác] [1]
Trong ADC ta có:
AD < AC + DC [bất đẳng thức tam giác] [2]
Cộng từng vế [1] và [2]:
\[\eqalign{
& 2{\rm{AD}} < AB + B{\rm{D}} + AC + DC \cr
& \Rightarrow 2AD < AB + AC + BC \cr
& \Rightarrow A{\rm{D}} < {{AB + AC + BC} \over 2} \cr} \]