Bài 2.30 trang 66 sách bài tập [SBT] Hình học 12.
Cho đường tròn tâm O bán kính r. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.
Hướng dẫn làm bài:
a] Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I. Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp. Khi đó điểm O phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có \[d \bot [ABCD]\] tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Ta có MI // SA nên \[MI \bot [ABCD]\] tại I. Từ M kẻ đường thẳng d//OI cắt d tại O. Vì \[d' \bot [SAC]\]tại M nên ta có OC = OS và OC là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Ta có \[r = O'C = \sqrt {OO{'^2} + O{C^2}} = \sqrt {M{I^2} + r{'^2}}\]
\[ = \sqrt {{{[{h \over 2}]}^2} + r{'^2}} = {{\sqrt {{h^2} + 4r{'^2}} } \over 2}\]
Vì SA không đổi nên ta có VSABCD lớn nhất khi và chỉ khi SABCD lớn nhất. Ta có \[{S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD\] trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau. Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r , nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.
Bài 2.31 trang 66 sách bài tập [SBT] Hình học 12.
Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a.
a] Tính diện tích xung quanh của hình trụ có đường tròn hai đáy ngoại tiếp các hình vuông ABC.D và ABCD.
b] Tính diện tích mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của hình lập phương.
c] Tính diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay nhận đường thẳng AC làm trục và sinh ra bởi cạnh AB.
Hướng dẫn làm bài:
a] Hình trụ có chiều cao h = a và bán kính đáy \[r = {{a\sqrt 2 } \over 2}\]
Do đó ta có: \[{S_{xq}} = 2\pi rh = \pi {a^2}\sqrt 2 \]
b] Gọi I là tâm của hình lập phương. Tất cả các đỉnh của hình lập phương đều có khoảng cách đến I bằng \[{{a\sqrt 3 } \over 2}\]nên chúng nằm trên mặt cầu tâm I bán kính \[r = {{a\sqrt 3 } \over 2}\]
Ta có diện tích mặt cầu đó là \[S = 4\pi {r^2} = 3\pi {a^2}\]
c] Đường tròn đáy của hình nón tròn xoay đỉnh A tạo nên bởi cạnh AB là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABD, tam giác này có cạnh bằng \[a\sqrt 2 \] và có đường cao bằng \[{{a\sqrt 6 } \over 2}\]
Do đó đường tròn đáy hình nón có bán kính \[r' = {{a\sqrt 6 } \over 3}\]. Vậy hình nón tròn xoay này có đường sinh l = a và có diện tích xung quanh là \[{S_{xq}} = \pi r'l = \pi .{{a\sqrt 6 } \over 3}.a = {{\pi {a^2}\sqrt 6 } \over 3}\].
Bài 2.32 trang 66 sách bài tập [SBT] Hình học 12.
Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO.
a] Chứng minh rằng mặt cầu đường kính OO tiếp xúc với hai mặt đáy của hình trụ và tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.
b] Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục OO và cách trục một khoảng bằng\[{r \over 2}\]. Tính diện tích thiết diện thu được.
c] Thiết diện nói trên cắt mặt cầu đường kính OO theo thiết diện là một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Hướng dẫn làm bài:
a] Vì các mặt đáy của hình trụ vuông góc với trục OO tại O và O nên chúng tiếp xúc với mặt cầu đường kính OO.
Gọi I là trung điểm của đoạn OO. Ta có I là tâm của mặt cầu. Kẻ IM vuông góc với một đường sinh nào đó [M nằm trên đường sinh] ta đều có IM = r là bán kính của mặt trụ đồng thời điểm M cũng thuộc mặt cầu. Vậy mặt cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của mặt trụ.
b] Trên mặt đáy tâm O ta gọi H là trung điểm của bán kính OP. Qua H kẻ dây cung \[AB \bot OP\]và nằm trong đáy [O; r]. Các đường sinh AD và BC cùng với các dây cung AB và DC [thuộc đáy [O, r]] xác định cho ta thiết diện cần tìm là một hình chữ nhật. Gọi S là diện tích hình chữ nhật này, ta có: SABCD = AB.AD trong đó AD = 2r còn AB = 2AH. Vì H là trung điểm của OP nên ta tính được \[AB = r\sqrt 3 \] . Vậy \[{S_{ABCD}} = 2{r^2}\sqrt 3 \].
c] Đường tròn giao tuyến của mặt cầu đường kính OO và mặt phẳng [ABCD] có bán kính bằng \[{{AB} \over 2} = {{r\sqrt 3 } \over 2}\]. Đường tròn này có tâm là tâm của hình chữ nhật ABCD và tiếp xúc với hai cạnh AD, BC của hình chữ nhật đó.