Bài 2.37 trang 84 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng \[\left[ \alpha \right]\]cho tam giác ABC. Từ ba đỉnh của tam giác này ta kẻ các nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz không nằm trong \[\left[ \alpha \right]\]. Trên Axlấy đoạn AA = a, trên By lấy đoạn BB = b, trên Cz lấy đoạn CC = c.
a] Gọi I, J và Klần lượt là các giao điểm BC, CA và AB với \[\left[ \alpha \right]\].
Chứng minh rằng \[{{IB} \over {IC}}.{{JC} \over {J{\rm{A}}}}.{{K{\rm{A}}} \over {KB}} = 1\]
b] Gọi Gvà Glần lượt là trọng tâm của các tam giác ABCvà ABC.
Chứng minh: \[GG'\parallel AA'\].
c] Tính GG theo a, b, c
Giải:
a] \[CC'\parallel BB' \Rightarrow \Delta ICC' \sim \Delta IBB'\]
\[ \Rightarrow {{IB} \over {IC}} = {{BB'} \over {CC'}} = {b \over c}\]
\[CC'\parallel AA' \Rightarrow \Delta JCC' \sim \Delta JAA'\]
\[ \Rightarrow {{JC} \over {JA}} = {{CC'} \over {AA'}} = {c \over a}\]
\[AA'\parallel BB' \Rightarrow \Delta KAA' \sim \Delta KBB'\]
\[ \Rightarrow {{KA} \over {KB}} = {{AA'} \over {BB'}} = {a \over b}\]
Do đó: \[{{IB} \over {IC}}.{{JC} \over {J{\rm{A}}}}.{{K{\rm{A}}} \over {KB}} = {b \over c}.{c \over a}.{a \over b} = 1\]
b] Gọi Hvà Hlần lượt là trung điểm của các cạnh BCvà BC. Vì HHlà đường trung bình của hình thang BBCCnên \[HH'\parallel BB'\].
Mà \[BB'\parallel AA'\]suy ra \[HH'\parallel AA'\]
Ta có: \[G \in AH\]và \[G' \in A'H'\]và ta có:
\[\left\{ \matrix{
{{AG} \over {AH}} = {2 \over 3} \hfill \cr
{{A'G'} \over {A'H'}} = {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow AA'\parallel GG'\parallel HH'\]
c]\[AH' \cap GG' = M \Rightarrow GG' = G'M + MG\]
Ta có: \[G'M\parallel AA' \Rightarrow \Delta H'G'M \sim \Delta H'A'A\]
\[ \Rightarrow {{G'M} \over {AA'}} = {{H'G'} \over {H'A'}} = {1 \over 3} \Rightarrow G'M = {1 \over 3}AA' = {1 \over 3}a\]
\[MG\parallel HH' \Rightarrow \Delta AMG \sim \Delta AH'H\]
\[ \Rightarrow {{MG} \over {HH'}} = {{AG} \over {AH}} = {2 \over 3} \Rightarrow MG = {2 \over 3}HH'\]
Mặt khác HH là đường trung bình của hình thang BBCC nên
\[HH' = {{BB' + CC'} \over 2} = {{b + c} \over 2} \Rightarrow MG = {2 \over 3}HH' = {2 \over 3}.{{b + c} \over 2} = {1 \over 3}\left[ {b + c} \right]\]
Do đó: \[GG' = G'M + MG = {1 \over 3}a + {1 \over 3}\left[ {b + c} \right] = {1 \over 3}\left[ {a + b + c} \right]\]
Vậy \[GG' = {1 \over 3}\left[ {a + b + c} \right]\].
Bài 2.38 trang 84 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCDvà điểm Mnằm trong tam giác BCD.
a] Dựng đường thẳng qua Msong song với hai mặt phẳng [ABC]và [ABD]. Giả sử đường thẳng này cắt mặt phẳng [ACD]tại B.
Chứng minh rằng AB, BM và CD đồng quy tại một điểm.
b] Chứng minh \[{{MB'} \over {BA}} = {{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}}\]
c] Đường thẳng song song với hai mặt phẳng [ACB] và [ACD] kẻ từ Mcắt [ABD] tại Cvà đường thẳng song song với hai mặt phẳng [ADC] và [ADB] kẻ từ Mcắt [ABC] tại D. Chứng minh rằng
\[{{MB'} \over {BA}} + {{MC'} \over {CA}} + {{M{\rm{D}}'} \over {DA}} = 1\]
Giải:
a] MB qua Mvà song song với [ABC] và \[\left[ {ABD} \right] \Rightarrow MB'\]song song với giao tuyến ABcủa hai mặt phẳng này. Ta có: \[MB'\parallel AB\]nên MBvà AB xác định một mặt phẳng. Giả sử MBcắt ABtại I.
Ta có: \[I \in BM \Rightarrow I \in \left[ {BC{\rm{D}}} \right]\]
\[I \in AB' \Rightarrow I \in \left[ {AC{\rm{D}}} \right]\]
Nên \[I \in \left[ {BC{\rm{D}}} \right] \cap \left[ {AC{\rm{D}}} \right] = C{\rm{D}}\]
\[I \in C{\rm{D}}\]
Vậy ba đường thẳng AB, BM và CDđồng quy tại I.
b] \[MB'\parallel AB \Rightarrow {{MB'} \over {AB}} = {{IM} \over {IB}}\]
Kẻ \[MM' \bot C{\rm{D}}\]và \[BH \bot C{\rm{D}}\]
Ta có: \[MM'\parallel BH \Rightarrow {{IM} \over {IB}} = {{MM'} \over {BH}}\]
Mặt khác:
\[\left\{ \matrix{
dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right] = {1 \over 2}C{\rm{D}}.MM` \hfill \cr
dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right] = {1 \over 2}C{\rm{D}}.BH \hfill \cr} \right.\]
\[{{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}} = {{{1 \over 2}C{\rm{D}}.MM'} \over {{1 \over 2}C{\rm{D}}.BH}} = {{MM'} \over {BH}}\]
Do đó: \[{{MB'} \over {AB}} = {{IM} \over {IB}} = {{MM'} \over {BH}} = {{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}}\]. Vậy \[{{MB'} \over {AB}} = {{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}}\]
c] Tương tự ta có: \[{{MC'} \over {CA}} = {{dt\left[ {\Delta MB{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}}\]
\[{{MD'} \over {DA}} = {{dt\left[ {\Delta MBC} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}}\]
Vậy :
\[\eqalign{
& {{MB'} \over {AB}} + {{MC'} \over {CA}} + {{MD'} \over {DA}} \cr
& = {{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}} + {{dt\left[ {\Delta MB{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}} + {{dt\left[ {\Delta MBC} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}} \cr
& = {{dt\left[ {\Delta MC{\rm{D}}} \right] + dt\left[ {\Delta MB{\rm{D}}} \right] + dt\left[ {\Delta MBC} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}} \cr
& = {{dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]} \over {dt\left[ {\Delta BC{\rm{D}}} \right]}} = 1. \cr} \]
Bài 2.39 trang 84 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Từ các đỉnh của tam giác ABC ta kẻ các đoạn thẳng AA, BB, CC song song cùng chiều, bằng nhau và không nằm trong mặt phẳng của tam giác. Gọi I, Gvà Klần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACC, ABC.
a] Chứng minh \[\left[ {IGK} \right]\parallel \left[ {BB'CC'} \right]\].
b] Chứng minh rằng \[\left[ {A'GK} \right]\parallel \left[ {AIB'} \right]\].
Giải:
Gọi M và Mtương ứng là trung điểm của ACvà AC, ta có:
\[I \in BM,G \in C'M,K \in B'M'\]
Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có:
\[{{MI} \over {MB}} = {{MG} \over {MC'}} = {1 \over 3} \Rightarrow IG\parallel BC'\];
\[{{MI} \over {MB}} = {{M'K} \over {M'B'}} = {1 \over 3}\]và \[MM'\parallel BB' \Rightarrow IK\parallel BB'\]
Ta có :
\[\left\{ \matrix{
IG\parallel BC` \hfill \cr
BC' \subset \left[ {BB'C'C} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow IG\parallel \left[ {BB'C'C} \right]\]
\[\left\{ \matrix{
IK\parallel BB` \hfill \cr
BB' \subset \left[ {BB'C'C} \right] \hfill \cr} \right. \Rightarrow IK\parallel \left[ {BB'C'C} \right]\]
Mặt khác IGvà \[IK \subset \left[ {IGK} \right]\]nên \[\left[ {IGK} \right]\parallel \left[ {BB'C'C} \right]\]
b] Gọi Evà Ftương ứng là trung điểm của BCvà BC, O là trung điểm của AC. A, I, E thẳng hàng nên [AIB] chính là [AEB]. A, G, C thẳng hàng nên [AGK] chính là [ACF].
Ta có \[B'E\parallel CF\][do BFCE là hình bình hành ] và \[AE\parallel A'F\]nên \[\left[ {AIB'} \right]\parallel \left[ {A'GK} \right]\].
Bài 2.40 trang 84 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và Nlần lượt là trung điểm của hai cạnh bên AAvà CC. Một điểm Pnằm trên cạnh bên DD.
a] Xác định giao điểm Qcủa đường thẳng BBvới mặt phẳng [MNP].
b] Mặt phẳng [MNP] cắt hình hộp theo một thiết diện. Thiết diện đó có tính chất gì?
c] Tìm giao tuyến của mặt phẳng [MNP] với mặt phẳng [ABCD] của hình hộp.
Giải:
a] Ta có mặt phẳng [AA, DD] song song với mặt phẳng [BB, CC]. Mặt phẳng [MNP] cắt hai mặt phẳng nói trên theo hai giao tuyến song song.
Nếu gọi Qlà điểm trên cạnh BBsao cho \[NQ\parallel PM\]thì Qlà giao điểm của đường thẳng BBvới mặt phẳng [MNP]
Nhận xét. Ta có thể tìm điểm Qbằng cách nối Pvới trung điểm Icủa đoạn MNvà đường thẳng PIcắt BBtại Q.
b] Vì mặt phẳng [AA, BB] song song với mặt phẳng [DD, CC] nên ta có \[MQ\parallel PN\]. Do đó mặt phẳng [MNP] cắt hình hộp theo thiết diện MNPQ là một ình bình hành.
Giả sử Pkhông phải là trung điểm của đoạn DD. Gọi \[H = PN \cap DC,K = MP \cap A{\rm{D}}\]. Ta có D = HKlà giao tuyến của mặt phẳng [MNP] với mặt phẳng [ABCD] của hình hộp. Chú ý rằng giao điểm \[E = AB \cap MQ\]cũng nằm trên giao tuyến dnói trên. Khi Plà trung điểm của DDmặt phẳng [MNP] song song với mặt phẳng [ABCD].