Bài 2.13 trang 67 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu tập con của tập hợp gồm 4 điểm phân biệt ?
Giải:
Số tập con của tập hợp gồm 4 điểm là
\[C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 16.\]
Bài 2.14 trang 67 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu
a] Ghế sắp thành hàng ngang ?
b] Ghế sắp quanh một bàn tròn ?
Giải:
a] Xếp 6 nam vào 6 ghế cạnh nhau. Có 6! cách.
Giữa các bạn nam có 5 khoảng trống cùng hai đầu dãy, nên có 7 chỗ có thể đặt ghế cho nữ.
Bây giờ chọn 4 trong 7 vị trí để đặt ghế. Có \[C_7^4\]cách.
Xếp nữ vào 4 ghế đó. Có 4! cách.
Vậy có \[6!.C_7^4.4! = 120.7!\]cách xếp mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau.
b] Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi. Có 5! cách.
Giữa hai nam có khoảng trống. Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó. Có \[A_6^4\]cách.
Theo quy tắc nhân, có \[5!.A_6^4 = 43200\]cách.
Bài 2.15 trang 67 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Chứng minh rằng với \[1 \le k \le n,\]
\[C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\]
Giải:
\[\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr
& C_n^{k + 1} = C_{n - 1}^k + C_{n - 1}^{k + 1} \cr
& ... \cr
& C_{k + 2}^{k + 1} = C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr} \]
Từ đó
\[\eqalign{
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_{k + 1}^{k + 1} \cr
& C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k. \cr} \]
Bài 2.16 trang 67 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Sử dụng đồng nhất thức \[{k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\]để chứng minh rằng
\[{1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left[ {n + 1} \right]\left[ {2n + 1} \right]} \over 6}}\]
Giải:
Ta có:
\[A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \]
Kết hợp với \[C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\],ta được
\[A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left[ {n + 1} \right]} \over 2} + {{\left[ {n - 1} \right]n\left[ {n + 1} \right]} \over 3}\]
\[= {{n\left[ {n + 1} \right]\left[ {2n + 1} \right]} \over 6}\]