Bài 2.49 trang 86 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Trên ba cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho đường thẳng BCcắt đường thẳng BC tại K, đường thẳng CD cắt đường thẳng CDtại J, đường thẳng DB cắt đường thẳng DBtại I.
a] Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng.
b] Lấy điểm Mở giữa đoạn thẳng BD; điểm N ở giữa đoạn thẳng CD sao cho đường thẳng MNcắt đường thẳng BC và điểm F nằm bên trong tam giác ABC. Xác định thiết diện của tứ diện ABCDkhi cắt bởi mặt phẳng [MNF].
Giải:
[h.2.75] a] Chú ý rằng I, J, K thẳng hàng vì chúng cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng [CBD] và [CBD]
b] 4. Vì 4 điểm không đồng phẳng sẽ tạo nên 1 tứ diện => có 4 mặt
Bài 2.50 trang 87 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Tìm vị trí điểm Mtrong không gian sao cho:
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\]đạt giá trị cực tiểu.
Giải:
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của ABvà CD. Ta có:
\[M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + {1 \over 2}A{B^2}\,\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[M{C^2} + M{D^2} = 2M{F^2} + {1 \over 2}C{{\rm{D}}^2}\,\,\,\,\,\left[ 2 \right]\]
Cộng [1]và [2]ta có:
\[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\]
\[ = 2\left[ {M{E^2} + M{F^2}} \right] + {1 \over 2}\left[ {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}\,\,} \right]\,\,\]
Gọi J là trung điểm của EF, ta có:
\[\left[ {M{E^2} + M{F^2}} \right] = 2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}\]
Khi đó:
\[\eqalign{
& M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2} \cr
& = 2\left[ {2M{J^2}\, + {1 \over 2}E{F^2}} \right] + {1 \over 2}\left[ {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right] \cr
& \ge E{F^2} + {1 \over 2}\left[ {A{B^2} + C{{\rm{D}}^2}} \right] \cr} \]
Vậy \[M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{{\rm{D}}^2}\]đạt giá trị nhỏ nhất khi \[M \equiv J\].
Bài 2.51 trang 87 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ diện ABCD. Lấy điểm Mthuộc đoạn AB. Gọi N, Plà các điểm thuộc miền trong các tam giác ACD, BCD tương ứng. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng [MNP] cắt tứ diện ABCD.
Giải:
[h.2.77] Gọi \[I = AN \cap CD\]. Trong mặt phẳng [ABI], gọi \[K = MN \cap BI\]. Trong mặt phẳng [BCD], gọi \[E = PK \cap CD,J = PK \cap BC\]. Trong mặt phẳng [ACD], gọi \[F = EN \cap A{\rm{D}}\]. Ta có thiết diện là tứ giác MJEF.