Bài 2.59 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b [với \[b \ne c\]]phân giác trong AD = k [D nằm trên cạnh BC], BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \[{k^2} = bc - de\]
Gợi ý làm bài
Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên\[\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\]
\[ \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = cos\widehat {DAC}\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow {{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}} \over {2AB.AD}} = {{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}} \over {2AC.AD}} \cr
& \Rightarrow {{{c^2} + {k^2} - {d^2}} \over {2c.k}} = {{{b^2} + {k^2} - {e^2}} \over {2b.k}} \cr
& \Rightarrow b\left[ {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right] = c\left[ {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right][*] \cr} \]
Vì AD là phân giác trong góc A của tam ABC nên\[{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\]
\[ \Rightarrow bd = ce$\],từ [*] ta suy ra\[\left[ {b - c} \right]\left[ { - {k^2} + bc - be} \right] = 0\]
\[ \Rightarrow {k^2} = bc - de\] [vì\[b \ne c\]] [điều phải chứng minh]
Bài 2.60 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Cho tam giác ABC cóBC = a, CA = b và AB = cthỏa mãn hệ thức \[{c \over {b + a}} + {b \over {a + c}} = 1\]. Hãy tính số đo của góc A.
Gợi ý làm bài
Ta có:\[{c \over {b + a}} + {b \over {a + c}} = 1\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow c\left[ {a + c} \right] + b\left[ {b + a} \right] = \left[ {b + a} \right]\left[ {a + c} \right] \cr
& \Rightarrow ca + {c^2} + {b^2} + ba = ba + {a^2} + bc + ac \cr
& \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc. \cr} \]
Ta có:\[\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{bc} \over {2bc}} = {1 \over 2}\]
\[ \Rightarrow \widehat A = {60^ \circ }\]
Bài 2.61 trang 105 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cóA[1;2], B[ - 3;1]và trực tâm H[-2;3]. Hãy tìm tọa độ đỉnh C.
Gợi ý làm bài
A[1;2], B[-3;1] và trực tâm H[-2;3].
Gọi C[x;y]. Ta có:
\[\overrightarrow {AH} = [ - 3;1];\overrightarrow {BC} = \left[ {x + 3;y - 1} \right]\]
\[\overrightarrow {BH} = [1;2];\overrightarrow {AC} = \left[ {x - 1;y - 2} \right]\]
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3.[x + 3] + 1.[y - 1] = 0 \hfill \cr
1.[x - 1] + 2.[y - 2] = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
- 3x + y = 10 \hfill \cr
x + 2y = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{ - 15} \over 7} \hfill \cr
y = {{25} \over 7} \hfill \cr} \right.\]