Câu 26 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Giải:
Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.
Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK
Mà AC = BD [gt]
Suy ra: BD = BK do đó BDK cân tại B
\[ \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\][tính chất tam giác cân]
Ta lại có: \[{\widehat C_1} = \widehat K\][hai góc đồng vị]
Suy ra: \[{\widehat D_1} = {\widehat C_1}\]
Xét ACD và BDC:
AC = BD [gt]
\[{\widehat D_1} = {\widehat C_1}\][chứng minh trên]
CD cạnh chung
Do đó: ACD = BDC [c.g.c] \[\Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\]
Hình thang ABCD có \[\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\] nên là hình thang cân.
Câu 27 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng \[{50^0}\]
Giải:
Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và \[\widehat D = {50^0}\]
Vì \[\widehat C = \widehat D\][tính chất hình thang cân]
\[ \Rightarrow \widehat C = {50^0}\]
\[\widehat A + \widehat D = {180^0}\][hai góc trong cùng phía]
\[ \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {50^0} = {130^0}\]
\[\widehat B = \widehat A\][tính chất hình thang cân] \[\Rightarrow \widehat B = {130^0}\]
Câu 28 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.
Giải:
AB = AD [gt]
AD = BC [tính chất hình thang cân]
AB = BC do đó ABC cân tại B
\[\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\][tính chất tam giác cân]
Mặt khác: AB // CD [gt]
\[{\widehat A_1} = {\widehat C_2}\][hai góc so le trong]
Suy ra: \[{\widehat C_1} = {\widehat C_2}\]
Vậy CA là tia phân giác của \[\widehat {BCD}\].
Câu 29 trang 83 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ?
Giải:
Ta có: OA = OC [gt]
OAC cân tại O
\[ \Rightarrow {\widehat A_1} = {{{{180}^0} - \widehat {AOC}} \over 2}\][tính chất tam giác cân] [1]
OB = OD [gt]
OBD cân tại O
\[ \Rightarrow {\widehat B_1} = {{{{180}^0} - \widehat {BOD}} \over 2}\][tính chất tam giác cân] [2]
\[\widehat {AOC} = \widehat {BOD}\][đối đỉnh] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[{\widehat A_1} = {\widehat B_1}\]
AC // BD [vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau]
Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang
Ta có: AB = OA + OB
CD = OC + OD
Mà OA = OC, OB = OD
Suy ra: AB = CD
Vậy hình thang ACBD là hình thang cân.