Bài 2.9 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Biết\[\tan \alpha = \sqrt 2 \].Tính giá trị của biểu thức\[A = {{3\sin \alpha - \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }}\]
Gợi ý làm bài
Do \[\tan \alpha = \sqrt 2 > 0 \Rightarrow 0_{}^o < \alpha < 90_{}^o \Rightarrow \cos \alpha > 0\]
\[\eqalign{
& \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }} = {1 \over {\sqrt {1 + 2} }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .cos\alpha = {{\sqrt 6 } \over 3} \cr} \]
\[A = {{3\sin \alpha - \cos \alpha } \over {\sin \alpha + \cos \alpha }} = 7 - 4\sqrt 2 \]
Bài 2.10 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Biết\[\sin \alpha = {2 \over 3}\].Tính giá trị của biểu thức\[B = {{3\cot \alpha - \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }}\]
Gợi ý làm bài
\[{\cot ^2}\alpha = {1 \over {\sin _{}^2\alpha }} - 1 = {1 \over {\left[ {{2 \over 3}} \right]_{}^2}} - 1 = {5 \over 4}\]
\[\eqalign{
& B = {{\cot \alpha - \tan \alpha } \over {\cot \alpha + \tan \alpha }} = {{\cot \alpha - {1 \over {\cot \alpha }}} \over {\cot \alpha + {1 \over {\cot \alpha }}}} \cr
& = {{\cot _{}^2\alpha - 1} \over {\cot _{}^2\alpha + 1}} = {{{5 \over 4} - 1} \over {{5 \over 4} + 1}} = {1 \over 9} \cr} \]
Bài 2.11 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Chứng minh rằng với\[{0^0} \le \alpha \le {180^0}\] ta có:
a] \[{[\sin x + \cos x]^2} = 1 + 2\sin x\cos x\]
b]\[{[\sin x - \cos x]^2} = 1 - 2\sin x\cos x\]
c]\[{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\]
Gợi ý làm bài
a]
\[\eqalign{
& {[\sin x + \cos x]^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x + 2\sin x\cos x \cr
& = 1 + 2\sin x\cos x \cr} \]
b]
\[\eqalign{
& {[\sin x - \cos x]^2} = {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2\sin x\cos x \cr
& = 1 - 2\sin x\cos x \cr} \]
\[\eqalign{
& c]{\sin ^4}x + {\cos ^4}x \cr
& = {[{\sin ^2}x]^2} + {[{\cos ^2}x]^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = {[{\sin ^2}x + {\cos ^2}x]^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr
& = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \cr} \]
Bài 2.12 trang 82 Sách bài tập [SBT] Toán Hình học 10
Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào\[\alpha \]
a]\[A = {[\sin \alpha + \cos \alpha ]^2} + {[\sin \alpha - \cos \alpha ]^2}\]
b]\[B = {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha + 1\]
Gợi ý làm bài
a]\[A = {[\sin \alpha + \cos \alpha ]^2} + {[\sin \alpha - \cos \alpha ]^2}\]
\[= 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha + 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \]
= 2
b]\[B = {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha + 1\]
\[ = [{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha ][{\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha ] - 2{\sin ^2}\alpha + 1\]
\[ = 1[{\sin ^2}\alpha [1 - {\sin ^2}\alpha ]{\rm{]}} - 2{\sin ^2}\alpha + 1 = 0\]