Bài 3.1 trang 117 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]với \[{u_n} = 1 - 7n\]
a] Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số ;
b] Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số ;
c] Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số.
Giải:
a] Xét hiệu \[H = {u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 7\left[ {n + 1} \right] - \left[ {1 - 7n} \right] = - 7 < 0\], vậy dãy số giảm.
b] Do \[{u_{n + 1}} = {u_n} - 7\]nên dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]là cấp số cộng với \[{u_1} = - 6;d = - 7\]
Công thức truy hồi là
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = - 6 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} - 7{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\]
c] \[{S_{100}} = - 35250\]
Bài 3.2 trang 118 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Trong các dãy số [un]sau đây, dãy số nào là cấp số cộng ?
a] \[{u_n} = 3n - 1\];
b] \[{u_n} = {2^n} + 1\];
c] \[{u_n} = {\left[ {n + 1} \right]^2} - {n^2}\];
d]
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 3 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = 1 - {u_n} \hfill \cr} \right.\]
Giải:
a] \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 3\left[ {n + 1} \right] - 1 - 3n + 1 = 3\]
Vì \[{u_{n + 1}} = {u_n} + 3\]nên \[\left[ {{u_n}} \right]\]dãy sốlà cấp số cộng với \[{u_1} = 2,d = 3.\]
b] \[{u_{n + 1}} - {u_n} = {2^{n + 1}} + 1 - {2^n} - 1 = {2^n}.\]Vì \[{2^n}\]không là hằng số nên dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\]không phải là cấp số cộng.
c] Ta có \[{u_n} = 2n + 1.\]
Vì \[{u_{n + 1}} - {u_n} = 2\left[ {n + 1} \right] + 1 - 2n - 1 = 2,\] nên dãy đã cho là cấp số cộng với \[{u_1} = 3;d = 2.\]
d] Để chứng tỏ \[\left[ {{u_n}} \right]\] không phải là cấp số cộng, ta chỉ cần chỉ ra, chẳng hạn \[{u_3} - {u_2} \ne {u_2} - {u_1}\] là đủ.
Bài 3.3 trang 118 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính số hạng đầu u1 và công sai d của cấp số cộng [un] biết :
a]
\[\left\{ \matrix{
{u_1} + 2{u_5} = 0 \hfill \cr
{S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
{u_4} = 10 \hfill \cr
{u_7} = 19 \hfill \cr} \right.\]
c]
\[\left\{ \matrix{
{u_1} + {u_5} - {u_3} = 10 \hfill \cr
{u_1} + {u_6} = 7 \hfill \cr} \right.\]
d]
\[\left\{ \matrix{
{u_7} - {u_3} = 8 \hfill \cr
{u_2}.{u_7} = 75 \hfill \cr} \right.\]
Giải:
a] \[{u_1} = 8,d = - 3.\]
b] \[{u_1} = 1,d = 3.\]
c] \[{u_1} = 36,d = - 13.\]
d] \[{u_1} = 3,d = 2\]hoặc \[{u_1} = - 17,d = 2.\]
Bài 3.4 trang 118 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Bài 3.4. Trang 118 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Tính số các số hạng của cấp số cộng \[\left[ {{a_n}} \right]\],nếu
\[\left\{ \matrix{
{a_2} + {a_4} + ... + {a_{2n}} = 126 \hfill \cr
{a_2} + {a_{2n}} = 42 \hfill \cr} \right.\]
Giải:
ĐS: n = 6