Bài 3.1 trang 170 sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:
a]\[f[x] = \ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} ]\] và \[g[x] = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\]
b] \[f[x] = {e^{\sin x}}\cos x\] và \[g[x] = {e^{\sin x}}\]
c]\[f[x] = {\sin ^2}{1 \over x}\] và \[g[x] = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\]
d] \[f[x] = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\] và \[g[x] = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \]
e] \[f[x] = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\] và \[g[x] = [2x - 1]{e^{{1 \over x}}}\]
Hướng dẫn làm bài
a] Hàm số \[f[x] = \ln [x + \sqrt {1 + {x^2}} ]\] là một nguyên hàm của\[g[x] = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\]
b] Hàm số \[g[x] = {e^{\sin x}}\]là một nguyên hàm của hàm số\[f[x] = {e^{\sin x}}\cos x\]
c] Hàm số \[f[x] = {\sin ^2}{1 \over x}\] là một nguyên hàm của hàm số\[g[x] = - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\]
d] Hàm số \[g[x] = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \]là một nguyên hàm của hàm số[f[x] = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\]
e] Hàm số \[f[x] = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\]là một nguyên hàm của hàm số\[g[x] = [2x - 1]{e^{{1 \over x}}}\]
Câu 3.2 trang 170 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Chứng minh rằng các hàm số F[x] và G[x] sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:
a] \[F[x] = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}}\]và \[G[x] = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\]
b] \[F[x] = {1 \over {{{\sin }^2}x}}\] và \[G[x] = 10 + {\cot ^2}x\]
c] \[F[x] = 5 + 2{\sin ^2}x\] và \[G[x] = 1 - \cos 2x\]
Hướng dẫn làm bài
a] Vì \[F[x] = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} + 3 = G[x] + 3\] nên F[x] và G[x] đều là một nguyên hàm của \[f[x] = {{2{x^2} - 6x - 20} \over {{{[2x - 3]}^2}}}\]
b] Vì \[G[x] = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F[x] + 9\], nên F[x] và G[x] đều là một nguyên hàm của \[f[x] = - {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\]
c] Vì \[F'[x] = [5 + 2{\sin ^2}x]' = 2\sin 2x\] và \[G'[x] = [1 - \cos 2x]' = 2\sin 2x\], nên F[x] và G[x] đều là nguyên hàm của cùng hàm số f[x] = 2sin2x
Bài 3.3 trang 171 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a] \[f[x] = {[x - 9]^4}\]
b] \[f[x] = {1 \over {{{[2 - x]}^2}}}\]
c] \[f[x] = {x \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\]
d] \[f[x] = {1 \over {\sqrt {2x + 1} }}\]
e] \[f[x] = {{1 - \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}\]
g] \[f[x] = {{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[F[x] = {{{{[x - 9]}^5}} \over 5} + C\]
b] \[F[x] = {1 \over {2 - x}} + C\]
c] \[F[x] = - \sqrt {1 - {x^2}} + C\]
d] \[F[x] = \sqrt {2x + 1} + C\]
e] \[F[x] = 2[\tan x - x] + C\] .
HD: Vì \[f[x] = 2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 2[{1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1]\]
g] \[F[x] = \ln [{x^2} + x + 1] + C\]. HD: Đặt u = x2 + x + 1 , ta có u = 2x + 1