Bài 31 trang 23 sgk Toán 9 tập 2
31. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết rằng nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó sẽ tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2
Bài giải:
Gọi \[x\] [cm], \[y\] [cm] là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông. Điều kiện \[x > 0, y > 0\].
Tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tăng them 36 cm2 nên ta được:
\[\frac{[x + 3][y + 3]}{2}= \frac{xy}{2} + 36\]
Một cạnh giảm 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích của tam giác giảm 36 cm2 nên ta được:
\[\frac{[x - 2][y- 4]}{2} = \frac{xy}{2} - 26\]
Ta có hệ phương trình \[\left\{\begin{matrix} [x + 3][y + 3]= xy + 72 & & \\ [x -2][y - 4]= xy -52 & & \end{matrix}\right.\]
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
xy + 3x + 3y + 9 = xy + 72 \hfill \cr
xy - 4x - 2y + 8 = xy - 52 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3x + 3y = 63 \hfill \cr
4x + 2y = 60 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
6x + 6y = 126 \hfill \cr
12x + 6y = 180 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6x = - 54 \hfill \cr
6x + 6y = 126 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 9 \hfill \cr
y = 12 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy độ dài hai cạnh góc vuông là 9 cm, 12 cm.
Bài 32 trang 23 sgk Toán 9 tập 2
32. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn [không có nước] thì sau\[4\frac{4}{5}\] giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau \[\frac{6}{5}\] giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể ?
Bài giải:
Gọi \[x\] [giờ] là thời gian để vòi thứ nhất chảy đầy bể \[[x > 0]\].
\[y\] [giờ] là thời gian để vòi thứ hai chảy đầy bể \[[y > 0]\].
Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được\[\frac{1}{x}\] bể, vòi thứ hai chảy được\[\frac{1}{y}\] bể.
Cả hai vòi cùng chảy thì bể đầy sau\[4\frac{4}{5}\] giờ = \[\frac{24}{5}\] giờ nên trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được\[\frac{5}{24}\] bể.
Ta được: \[\frac{1}{x}\] +\[\frac{1}{y}\] = \[\frac{5}{24}\] [1]
Trong 9 giờ cả vòi một chảy được\[\frac{9}{x}\] bể.
Trong\[\frac{6}{5}\] giờ cả hai vòi chảy được \[\frac{6}{5}\][ \[\frac{1}{x}\] +\[\frac{1}{y}\]] bể.
Theo đề bài vòi thứ nhất chảy 9h sau mở vòi hai thì sau \[\frac{6}{5}\] giờ thì đầy bể nên ta có:
\[\frac{9}{x}+\frac{6}{5}[\frac{1}{x}\] +\[\frac{1}{y}]=1\]
\[ \Leftrightarrow {{51} \over x} + {6 \over y} = 5\] [2]
Từ [1] và [2] ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
{1 \over x} + {1 \over y} = {5 \over {24}} \hfill \cr
{{51} \over x} + {6 \over y} = 5 \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ ta được: \[x=12,y=8\]
Vậy nếu từ đầu chỉ mở vòi hai thì sau 8 giờ bể sẽ đầy.
Bài 33 trang 24 sgk Toán 9 tập 2
33. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ?
Bài giải:
Giả sử nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong \[x\] giờ, người thứ hai trong \[y\] giờ. Điều kiện \[x > 0, y > 0\].
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\] công việc, người thứ hai\[\frac{1}{y}\] công việc, cả hai người cùng làm chung thì được \[\frac{1}{16}\] công việc.
Ta được\[\frac{1}{x}\] +\[\frac{1}{y}\] = \[\frac{1}{16}\].
Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được\[\frac{3}{x}\] công việc, trong 6 giờ người thứ hai làm được\[\frac{6}{y}\] công việc, cả hai người làm được 25% công việc hay\[\frac{1}{4}\] công việc.
Ta được\[\frac{3}{x}\] +\[\frac{6}{y}\] = \[\frac{1}{4}\]
Ta có hệ phương trình: \[\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{16} & & \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4}& & \end{matrix}\right.\].
Giải ra ta được \[x = 24, y = 48\].
Vậy người thứ nhất 24 giờ, người thứ hai 48 giờ.