Bài 3.20 trang 147 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Hai tam giác cân ABCvà DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi Ilà trung điểm của cạnh BC.
a] Chứng minh \[BC \bot A{\rm{D}}\]
b] Gọi AH là đường cao của tam giác ADI
Chứng minh rằng AHvuông góc với mặt phẳng [BCD].
Giải:
a] Tam giác ABCcân đỉnh Avà có Ilà trung điểm của BC nên \[AI \bot BC\]. Tương tự tam giác DBCcân đỉnh Dvà có có I là trung điểm của BCnên \[DI \bot BC\]. Ta suy ra:
\[BC \bot \left[ {AI{\rm{D}}} \right]\]nên \[BC \bot A{\rm{D}}\].
b] Vì \[BC \bot \left[ {AI{\rm{D}}} \right]\]nên \[BC \bot AH\]
Mặt khác \[AH \bot I{\rm{D}}\]nên ta suy ra AH vuông góc với mặt phẳng [BCD].
Bài 3.21 trang 147 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Chứng minh rằng tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABClà đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng [ABC] tại tâm Ocủa đường tròn [C]ngoại tiếp tam giác ABC đó.
Giải:
Phần thuận. Nếu MA = MB = MC nghĩa là Mcách đều ba đỉnh của tam giác ABCvà MOvuông góc với mặt phẳng [ABC]thì ta có ba tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau. Từ đó ta suy ra OA = OB = OC nghĩa là A, B, Cnằm trên đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Vậy điểm Mcách đều ba đỉnh của tam giác ABCthì nằm trên đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng [ABC]tại tâm Ocủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Phần đảo. Nếu ta lấy một điểm Mbất kì thuộc đường thẳng d nói trên thì ta có ba tam giác vuông MOA, MOB, MOC bằng nhau. Do đó ta suy ra MA = MB = MC nghĩa là điểm Mcách đều ba đỉnh của tam giác ABC.
Kết luận. Tập hợp những điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABClà đường thẳng dvuông góc với mặt phẳng [ABC] tại tâm Ocủa đường tròn [C]ngoại tiếp tam giác ABCđó. Người ta thường gọi đường thẳng dlà trục của đường tròn [C].