Bài 5.1 trang 219 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
a] Xác định a, b, c, d để đồ thị của các hàm số:
y = x2+ ax + b và y = cx + d
cùng đi qua hai điểm M[1; 1] và B[3; 3].
b] Vẽ đồ thị của các hàm số ứng với các giá trị a, b, c và d tìm được trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong trên.
c] Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng trên quay quanh trục hoành.
Hướng dẫn làm bài
a] a và b thỏa mãn hệ phương trình :
\[\left\{ {\matrix{{1 + a + b = 1} \cr {9 + 3a + b = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{a + b = 0} \cr {3a + b = - 6} \cr} } \right.\Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{a = - 3} \cr {b = 3} \cr} } \right.\]
c và d thỏa mãn hệ phương trình:
\[\left\{ {\matrix{{c + d = 1} \cr {3c + d = 3} \cr}\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{c = 1} \cr {d = 0} \cr} } \right.} \right.\]
b] [H.90] Ta có hai hàm số tương ứng là: y = x2 3x + 3 và y = x
Vậy \[S = \int\limits_1^3 {[ - {x^2} + 4x - 3]dx} = {4 \over 3}\][đơn vị diện tích]
c] V = V1 V2, trong đó V1là thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do quay hình thang ACDB quanh trục Ox , V2là thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do quay hình thang cong ACDB quanh trục Ox.
Ta có \[{V_1} = \pi \int\limits_1^3 {{x^2}dx = {{26} \over 3}\pi } \]
\[{V_2} = \pi \int\limits_1^3 {{{[{x^2} - 3x + 3]}^2}dx = {{22} \over 5}\pi } \]
Vậy \[V = {{26} \over 3}\pi - {{22} \over 5}\pi = {{64} \over {15}}\pi \] [đơn vị thể tích]
Bài 5.2 trang 219 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số: \[y = {{ - x + 2} \over {x + 2}}\]
b] Viết phương trình tiếp tuyến của [C] , biết nó vuông góc với đường thẳng \[y = {1 \over 4}x - 42\]
Hướng dẫn làm bài
a]\[y = {{ - x + 2} \over {x + 2}}\]
+] Tập xác định: D = R\{-2}
+] Ta có: \[y' = - {4 \over {{{[x + 2]}^2}}}\]
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \[[ - \infty ; - 2],[ - 2; + \infty ]\]
+] Tiệm cận đứng x = -2 vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \]
Tiệm cận ngang y = -1 vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = - 1\]
Giao với các trục tọa độ: [0; 1]; [2; 0]
Đồ thị
b] Tiếp tuyến của đồ thị có hệ số góc k = -4 [vì vuông góc với đường thẳng \[y = {1 \over 4}x - 42\] ]
Hoành độ tiếp điểm thỏa mãn phương trình:
\[{{ - 4} \over {{{[x + 2]}^2}}} = - 4 = > \left[ {\matrix{{{x_1} = - 3} \cr {{x_2} = - 1} \cr} } \right.\]
Ứng với \[{x_1} = - 3\],ta có tiếp tuyến y = - 4x 17
Ứng với \[{x_2} = - 1\], ta có tiếp tuyến y = - 4x 1.
Bài 5.3 trang 219 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị [C] của hàm số : \[y = {{4x - 5} \over {x - 1}}\]
b] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi [C], tiếp tuyến của [C] tại A[2; 3] và đường thẳng x = 4.
Hướng dẫn làm bài
a] Tập xác định: D = R\{1}
Đạo hàm: \[y' = {1 \over {{{[x - 1]}^2}}}\]
Bảng biến thiên:
Các khoảng đồng biến là \[[ - \infty ;1]\]và \[[1; + \infty ]\]:
Tiệm cận đứng x = 1 vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = + \infty \]
Tiệm cận ngang y = 4 vì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 4\]
Giao với các trục tọa độ: [0; 5] và \[[{5 \over 4};0]\]
Đồ thị
b] Ta có: y[2] = 1. Phương trình tiếp tuyến là y = x + 1
Diện tích của miền cần tìm là:
\[S = \int\limits_2^4 {[x + 1 - 4 + {1 \over {x - 1}}]dx} = \int\limits_2^4 {[x - 3 + {1 \over {x - 1}}]dx} = \ln 3\].
Bài 5.4 trang 219 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a] \[y = {{5x + 3} \over { - x + 2}}\] b] \[y = {{ - 6x + 2} \over {x - 1}}\]
c] \[y = {{2{x^2} + 8x - 9} \over {3{x^2} + x - 4}}\] d] \[y = {{x + 2} \over { - 2x + 5}}\]
Hướng dẫn làm bài
a] Tiệm cận đứng: x = 2; Tiệm cận ngang: y = -5
b] Tiệm cận đứng: x = 1 ; Tiệm cận ngang: y = -6
c] Ta có: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 8x - 9} \over {3{x^2} + x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2}[2 + {8 \over x} - {9 \over {{x^2}}}]} \over {{x^2}[3 + {1 \over x} - {4 \over {{x^2}}}]}} = {2 \over 3}\]
Vậy đồ thị có đường tiệm cận ngang \[y = {2 \over 3}\]
Ta có \[y = {{2{x^2} + 8x + 9} \over {[x - 1][3x + 4]}}\]
Từ đó đồ thị có hai tiệm cận đứng là x = 1 và \[x = - {4 \over 3}\]
d] Tiệm cận đứng: \[x = {5 \over 2}\]. Tiệm cận ngang: \[y = - {1 \over 2}\]