Câu 19 trang 7 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a. P\[ = {x^2} - 2x + 5\]
b. Q\[ = 2{x^2} - 6x\]
c. M\[ = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10\]
Giải:
a. P\[= {x^2} - 2x + 5]\\[ = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4\]
Ta có:
\[{\left[ {x - 1} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \ge 4\]
\[ \Rightarrow P = {x^2} - 2x + 5 = {\left[ {x - 1} \right]^2} + 4 \ge 4\]
\[ \Rightarrow P = 4\] là giá trị bé nhất \[{\left[ {x - 1} \right]^2} = 0 \Rightarrow x = 1\]
Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi
b. Q\[ = 2{x^2} - 6x\]\[ = 2\left[ {{x^2} - 3x} \right] = 2\left[ {{x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} - {9 \over 4}} \right]\]
\[ = 2\left[ {{{\left[ {x - {2 \over 3}} \right]}^2} - {9 \over 4}} \right] = 2{\left[ {x - {2 \over 3}} \right]^2} - {9 \over 2}\]
Ta có: \[{\left[ {x - {2 \over 3}} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left[ {x - {2 \over 3}} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left[ {x - {2 \over 3}} \right]^2} - {9 \over 2} \ge - {9 \over 2}\]
\[\Rightarrow Q = - {9 \over 2}\]là giá trị nhỏ nhất \[ \Rightarrow {\left[ {x - {2 \over 3}} \right]^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\]
Vậy \[Q = - {9 \over 2}\] là giá trị bé nhất của đa thức \[x = {2 \over 3}\]
c.
\[\eqalign{ & M = {x^2} + {y^2} - x + 6y + 10 = \left[ {{y^2} + 6y + 9} \right] + \left[ {{x^2} - x + 1} \right] \cr & = {\left[ {y + 3} \right]^2} + \left[ {{x^2} - 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right] = {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \cr} \]
Ta có:
\[\eqalign{ & {\left[ {y + 3} \right]^2} \ge 0;{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \ge 0 \Rightarrow {\left[ {y + 3} \right]^2} + {\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \]
\[ \Rightarrow M = {3 \over 4}\] là giá trị nhỏ nhất khi \[{\left[ {y + 3} \right]^2} = 0\]
\[ \Rightarrow y = - 3\] và \[{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\]
Vậy \[M = {3 \over 4}\] là giá trị bé nhất tại \[y = - 3\] và \[x = {1 \over 2}\]
Câu 20 trang 7 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:
a. \[A = 4x - {x^2} + 3\]
b. \[B = x - {x^2}\]
c. \[N = 2x - 2{x^2} - 5\]
Giải:
a. \[A = 4x - {x^2} + 3 = 7 - {x^2} + 4x - 4 = 7 - \left[ {{x^2} - 4x + 4} \right] = 7 - {\left[ {x - 2} \right]^2}\]
Ta có: \[{\left[ {x - 2} \right]^2} \ge 0\]
Suy ra: \[A = 7 - {\left[ {x - 2} \right]^2} \le 7\]
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \[x = 2\]
b. \[B = x - {x^2}]\\[ = {1 \over 4} - {x^2} + x - {1 \over 4} = {1 \over 4} - \left[ {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right] = {1 \over 4} - {\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2}\]
Vì \[{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \ge 0\] . Suy ra: \[B = {1 \over 4} - {\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \le {1 \over 4}\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \[{1 \over 4}\] tại \[x = {1 \over 2}\]
c. \[N = 2x - 2{x^2} 5\] \[ = - 2\left[ {{x^2} - x + {5 \over 2}} \right] = - 2\left[ {{x^2} - 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right]\]
\[ = - 2\left[ {{{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]}^2} + {9 \over 4}} \right] = - 2{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} - {9 \over 2}\]
Vì\[{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \ge 0\] nên\[ - 2{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} \le 0\]
Suy ra: \[N = - 2{\left[ {x - {1 \over 2}} \right]^2} - {9 \over 2} \le - {9 \over 2}\]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \[ - {9 \over 2}\] tại \[x = {1 \over 2}\]
Câu 3.1 trang 8 Sách bài tập [SBT] Toán 8 tập 1
Cho \[{x^2} + {y^2} = 26\] và\[xy = 5\] giá trị của\[{\left[ {x - y} \right]^2}\] là:
A. 4
B.16
C. 21
D. 36
Giải:
Chọn B. 16