Bài 3.28 trang 114 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:
a] \[[{\alpha _1}]:3x - 2y - 3z + 5 = 0,\]
\[[\alpha {'_1}]:9x - 6y - 9z - 5 = 0\]
b] \[[{\alpha _2}]:x - 2y + z + 3 = 0,\]
\[[\alpha {'_2}]:x - 2y - z + 3 = 0\]
c] \[[{\alpha _3}]:x - y + 2z - 4 = 0,\]
\[[\alpha {'_3}]:10x - 10y + 20z - 40 = 0\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[[{\alpha _1}]//[{\alpha _1}']\]
b] \[[{\alpha _2}]\]cắt \[[{\alpha _2}']\]
c] \[[{\alpha _3}] \equiv [{\alpha _3}']\]
Bài 3.29 trang 114 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Viết phương trình của mặt phẳng \[[\beta ]\]đi qua điểm M[2; -1; 2], song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng\[[\alpha ]\] : 2x y + 3z + 4 = 0
Hướng dẫn làm bài:
Mặt phẳng \[[\beta ]\]song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng \[[\alpha ]\]:
2x y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên \[[\beta ]\]là: \[\overrightarrow j = [0;1;0]\] và\[\overrightarrow {{n_\alpha }} = [2; - 1;3]\]
Suy ra \[[\beta ]\]có vecto pháp tuyến là\[\overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow j \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }} = [3;0; - 2]\]
Mặt phẳng \[[\beta ]\]đi qua điểm M[2; -1; 2] có vecto pháp tuyến là:\[\overrightarrow {{n_\beta }} = [3;0; - 2]\]
Vậy phương trình của \[[\beta ]\]là: 3[x 2] 2[z 2] = 0 hay 3x 2z 2 = 0
Bài 3.30 trang 114 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Lập phương trình của mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua điểm M[1; 2; 3] và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn làm bài:
Gọi giao điểm của \[[\alpha ]\]với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A[a; 0; 0], B[0; b; 0], C[0; 0 ; c] [a, b, c > 0].
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]có phương trình theo đoạn chắn là:\[{x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1\] [1]
Do \[[\alpha ]\]đi qua M[1; 2; 3] nên ta thay tọa độ của điểm M vào [1]:\[{1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1\]
Thể tích của tứ diện OABC là \[V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc\]
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: \[1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow 1 \ge {{27.6} \over {abc}}\]
\[\Rightarrowabc \ge 27.6 \RightarrowV \ge 27\]
Ta có: V đạt giá trị nhỏ nhất \[ \LeftrightarrowV = 27 \Leftrightarrow{1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow\left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.\]
Vậy phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]thỏa mãn đề bài là:
\[{x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\] hay 6x + 3y + 2z 18 = 0