Bài 1 trang 104 SGK Hình học 11
Cho hai đường thẳng phân biệt \[a,b\] và mặt phẳng \[[\alpha]\]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
a] Nếu \[a//[\alpha]\] và \[b\bot [\alpha]\] thì \[a\bot b\]
b] Nếu \[a//[\alpha]\] và\[b\bot a\] thì \[b\bot[\alpha]\]
c]Nếu \[a//[\alpha]\] và\[b// [\alpha]\] thì \[b//a\]
d]Nếu \[a\bot [\alpha]\] và\[b\bot a\] thì \[b//[\alpha]\]
Giải
a] Đúng
b] Sai
c] Sai
d] Sai.
Bài 2 trang 104 SGK Hình học 11
Cho tứ diện \[ABCD\] có hai mặt \[ABC\] và \[BCD\] là hai tam giác cân có chung cạnh đáy \[BC\].Gọi \[I\] là trung điểm của cạnh \[BC\].
a] Chứng minh rằng \[BC\] vuông góc với mặt phẳng \[ADI\].
b] Gọi \[AH\] là đường cao của tam giác \[ADI\], chứng minh rằng \[AH\] vuông góc với mặt phẳng \[BCD\].
Giải
a] Tam giác \[ABC\] cân tại \[A\] nên ta có đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao do đó: \[AI\bot BC\]
Tương tự ta có: \[DI\bot BC\]
Ta có:
$$\left. \matrix{
AI \bot BC \hfill \cr
DI \bot BC \hfill \cr
AI \cap DI = {\rm{\{ }}I{\rm{\} }} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow BC \bot [ADI]$$
b] Ta có \[AH\] là đường cao của tam giác \[ADI\] nên \[AH\bot DI\]
Mặt khác: \[BC\bot [ADI]\] mà \[AH\subset [ADI]\] nên \[AH\bot BC\]
Ta có
$$\left. \matrix{
AH \bot BC \hfill \cr
AH \bot DI \hfill \cr
BC \cap DI = {\rm{\{ }}I{\rm{\} }} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AH \bot [BCD]$$
Bài 3 trang 104 SGK Hình học 11
Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình thoi \[ABCD\] và có \[SA=SB=SC=SD\].Gọi \[O\] là giao điểm của \[AC\] và \[BD\]. Chứng minh rằng:
a] Đường thẳng \[SO\] vuông góc với mặt phẳng \[[ABCD]\];
b] Đường thẳng \[ AC\] vuông góc với mặt phẳng \[[SBD]\] và đường thẳng \[BD\] vuông góc với mặt phẳng \[SAC\].
Giải
a] Theo giả thiết \[SA=SC\] nên tam giác \[SAC\] cân tại \[S\]
\[O\] là giao của hai đường chéo hình bình hành nên \[O\] là trung điểm của \[AC\] và \[BD\].
Do đó \[SO\] vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác \[SAC\] hay \[SO\bot AC\] [1]
Chứng minh tương tự ta được: \[SO\bot BD\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[SO\bot [ABCD]\].
b] \[ABCD\] là hình thoi nên \[AC\bot BD\] [3]
Từ [1] và [3] suy ra \[AC\bot [SBD]\]
Từ [2] và [3] suy ra \[BD\bot [SAC]\]
Bài 4 trang 105 sgk hình học 11
Cho tứ diện \[OABC\] có ba cạnh \[OA, OB, OC\] đôi một vuông góc. Gọi \[H\] là chân đường vuông góc hạ từ \[O\] tới mặt phẳng \[[ABC]\]. Chứng minh rằng:
a] H là trực tâm của tam giác \[ABC\];
b]\[\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\]
Hướng dẫn.
[h.3.32]
a] \[H\] là hình chiếu của \[O\] trên mp \[[ABC]\] nên \[OH [ABC] \Rightarrow OH BC\]. [1]
Mặt khác: \[OA OB\], \[OA OC\]
\[\Rightarrow OA [OBC] \RightarrowOA BC\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[BC [AOH] \RightarrowBC AH\]. Chứng minh tương tự ta được \[AB CH \]
\[\RightarrowH\] là trực tâm của tam giác \[ABC\].
b] Trong mặt phẳng \[[ABC]\] gọi \[E = AH BC\], \[OH [ABC]\], \[AE [ABC] \RightarrowOH AE\] tại \[H\];
\[OA [ABC], OE [ABC] \RightarrowOA OE\] tức là \[OH\] là đường cao của tam giác vuông \[OAE\].
Mặt khác \[OE\] là đường cao của tam giác vuông \[OBC\]
Do đó: \[\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OE^{2}} =\frac{1}{OA^{2}}+\frac{1}{OB^{2}}+\frac{1}{OC^{2}}.\]
Nhận xét: Biểu thức này là mở rộng của công thức tính đường cao thuộc cạnh huyền của tam giác vuông:\[\frac{1}{h^{2}}=\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} .\]