Bài 34 trang 125 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2
Bài 34. Khinh khí cầu của nhà Mông gôn fi ê
Ngày 4 - 6 - 1783, anh em nhà Mông gôn fi ê[người Pháp] phát minh ra khinh khí cầu dùng không khí nóng. Coi khí cầu này là hình cầu có đường kính \[11\] m. Hãy tính diện tích mặt khinh khí cầu đó[ làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai].
Giải:
Diện tích của khinh khí cầu:
\[\pi {d^{2}} = {\rm{ }}3,14.{\rm{ }}11.{\rm{ }}11{\rm{ }} = {\rm{ }}379,94{\rm{ }}[{m^2}]\]
Bài 35 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2
Bài 35. Một cái bồn chứa xăng gồm hai cửa hình cầu và hình trụ [h210]
Hãy tính thể tích của bồn chưa theo kích thước cho trên hình vẽ.
Giải:
Thể tích cần tính gồm một hình trụ và một hình cầu.
- Bán kính đáy của hình trụ là \[0,9m\], chiều cao là \[3,62m\].
- Bán kính của hình cầu là \[0,9 m\]
Thể tích của hình trụ là :
\[{V_{tru}} = {\rm{ }}\pi {r^2}h{\rm{ }} = {\rm{ }}3,14{\rm{ }}{\left[ {0,9} \right]^2}.3,62 = 9,215{\rm{ }}[{m^3}]\]
Thể tích của hình cầu là:
\[{V_{cau}} = {4 \over 3}\pi {R^3} = {4 \over 3}.3,14{[0,9]^3} = 3,055[{m^3}]\]
Thể tích của bồn chứa xăng:
\[V = {V_{tru}} + {\rm{ }}{V_{cau}} = {\rm{ }}9,215{\rm{ }} + {\rm{ }}3,055{\rm{ }} = {\rm{ }}12,27[{m^3}]\]
Bài 36 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2
Bài 36. Một chi tiết máy gồm một hình trù và hai nửa hình cầu với các kích thước đã cho trên hình 111 [đơn vị: cm]
a] Tìm một hệ thức giữa \[x\] và \[h\] khi \[AA'\] có độ dài không đổi và bằng \[2a\].
b] Với điều kiện ở a] hãy tính diện tích bề mặt và thể tích của chi tiết theo \[x\] và \[a\].
Giải:
a] Ta có \[h + 2x = 2a\]
b] - Diện tích cần tính gồm diện tích xung quanh của hình trụ có bán kính đáy là \[x\], chiều cao là \[h\] và diện tích mặt cầu có bán kính là \[x\].
- Diện tích xung quanh của hình trụ: \[{S_{tru}} = {\rm{ }}2\pi xh\]
- Diện tích mặt cầu:\[{S_{cau}} = {\rm{ }}4\pi {x^2}\]
Nên diện tích bề mặt của chi tiết máy là:
\[S{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{tru}} + {S_{cau}}\]
\[= 2\pi xh{\rm{ }} + 4\pi {x^{2}} = 2\pi x\left[ {h + 2x} \right]{\rm{ }} = {\rm{ }}4\pi ax\]
Thể tích cần tìm gồm thể tích hình trụ và thể tích hình cầu. Ta có:
\[{V_{tru}}{\rm{ }} = \pi {x^2}h\]
\[{V_{cau}} = {4 \over 3}\pi {x^3}\]
Nên thể tích của chi tiết máy là:
\[V = {V_{tru}} + {V_{cau}} = \pi {x^2}h + {4 \over 3}\pi {x^3}\]
\[= 2\pi {x^2}[a - x] + {4 \over 3}\pi {x^3} = 2\pi {x^2}\left[ {a - {1 \over 3}x} \right]\]
Bài 37 trang 126 - Sách giáo khoa toán 9 tập 2
Bài 37. Cho nửa đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB = 2R\], \[Ax\] và \[By\] là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \[A\] và \[B\]. Lấy trên tia \[Ax\] điểm \[M\] rồi vẽ tiếp tuyến \[MP\] cắt \[By\] tại \[N\].
a] Chứng minh rằng \[MON\] và \[APB\] là hai tam giác vuông đồng dạng.
b] Chứng minh rằng \[AM.BN = R^2\]
c] Tính tỉ số\[\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\]khi \[AM\] =\[\frac{R}{2}\]
d] Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \[APB\] quay quanh \[AB\] sinh ra.
Giải:
a] Ta có \[OM\], \[ON\] lần lượt là tia phân giác của \[\widehat {AOP}\] và \[\widehat {BOP}\]
Mà \[\widehat {AOP}\] kể bù \[\widehat {BOP}\] nên suy ra \[OM\] vuông góc với \[ON\].
Vậy \[MON\] vuông tại \[O\].
Lại có \[APB\] vuông vì có góc\[\widehat{APB}\]vuông [góc nội tiếp chắn nửa cung tròn]
Tứ giác \[AOPM\] nội tiếp đường tròn vì có\[\widehat{MAP}\]+\[\widehat{MPO}\]= \[180^0\]. Nên\[\widehat{PMO}\]=\[\widehat{PAO}\][cùng chắn cung \[OP\]].
Vậy hai tam giác vuông \[MON\] và \[APB\] đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau.
b]
Tam giác \[AM = MP, BN = NP\] [1] [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
Tam giác vuông \[MON\] có \[OP\] là đường cao nên:
\[MN.PN = OP^2\][2]
Từ 1 và 2 suy ra \[AM.BN = O{P^2} = {R^2}\]
c] Từ tam giác \[MON\] đồng dạng với tam giác \[APB\] ta có :
\[\frac{S_{MON}}{S_{APB}}= \frac{MN^2}{AB^2}\]
Khi \[AM\] =\[\frac{R}{2}\]thi do \[AM.BN = {R^{2{\rm{ }}}}\] suy ra \[BN = 2R\]
Do đó \[MN = MP + PN = AM + BN\] = \[\frac{R}{2}\]+ \[2R\] = \[\frac{5R}{2}\]
Suy ra \[MN^2\]=\[\frac{25R^2}{4}\]
Vậy\[\frac{S_{MON}}{S_{APB}}\]=\[\frac{ \frac{25R^2}{4}}{[2R]^2}= \frac{25}{16}\]
d] Nửa hình tròn \[APB\] quay quanh đường kính \[AB = 2R\] sinh ra một hình cầu có bán kính \[R\].
Vậy \[V\] = \[\frac{4}{3}\]\[πR^3\]