Bài 34 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho số phức \[{\rm{w}} = - {1 \over 2}\left[ {1 + i\sqrt 3 } \right]\]. Tìm các số nguyên dương n để \[{{\rm{w}}^n}\] là số thực. Hỏi có chăng một số nguyên dương m để \[{{\rm{w}}^m}\]là số ảo?
Giải
Ta có: \[\rm{w} = - {1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i = \cos {{4\pi } \over 3} + i\sin {{4\pi } \over 3}\]
Suy ra \[{\rm{w}^n} = \cos {{4\pi n} \over 3} + i\sin {{4\pi n} \over 3}\]
\[{\omega ^n}\]là số thực \[ \Leftrightarrow \sin {{4n\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4n\pi } \over 3} = k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb Z} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 4n = 3k \Leftrightarrow n\] chia hết cho 3 [n nguyên dương]
\[{\rm{w} ^m}\][m nguyên dương] là số ảo \[ \Leftrightarrow \cos {{4m\pi } \over 3} = 0 \Leftrightarrow {{4m\pi } \over 3} = {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb Z} \right]\]
\[ \Leftrightarrow 8m = 6k + 3\] [vô lí vì vế trái chẵn, vế phải lẻ].
Vậy không có số nguyên dương m để \[{\rm{w} ^m}\]là số ảo.
Bài 35 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao
Viết dạng lượng giác của số phức z và của các căn bậc hai của z cho mỗi mỗi trường hợp sau:
a] \[\left| z \right| = 3\]và một acgumen của iz là \[{{5\pi } \over 4};\]
b] \[\left| z \right| = {1 \over 3}\]và một acgumen của \[{{\overline z } \over {1 + i}}\] là \[ - {{3\pi } \over 4}.\]
Giải
a] Ta có \[i = \cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}\]nên acgumen của i là \[{\pi \over 2}\]. Một acgumen của \[z = {{iz} \over i}\] là \[{{5\pi } \over 4} - {\pi \over 2} = {{3\pi } \over 4}\]
Vậy \[z = 3\left[ {\cos {{3\pi } \over 4} + i\sin {{3\pi } \over 4}} \right]\], từ đó dạng lượng giác của các căn bậc hai của z là \[\sqrt 3 \left[ {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right]\]và \[-\sqrt 3 \left[ {\cos {{3\pi } \over 8} + i\sin {{3\pi } \over 8}} \right]\]
\[=\sqrt 3 \left[ {\cos {{11\pi } \over 8} + i\sin {{11\pi } \over 8}} \right]\].
b] Gọi \[\varphi \]là acgumen của z là -\[\varphi \] là một acgumen của \[\overline z \]
\[1 + i = \sqrt 2 \left[ {{1 \over {\sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 2 }}i} \right] = \sqrt 2 \left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right]\]có một acgumen là \[{\pi \over 4}\]nên một acgumen của \[{{\overline z } \over {1 + i}}\]là \[ - \varphi - {\pi \over 4}\]. Theo đề bài ta có:
\[ - \varphi - {\pi \over 4} =- {{3\pi } \over 4} + k2\pi \,\,\left[ {k \in \mathbb Z} \right] \]
\[\Rightarrow \varphi = {\pi \over 2} + k2\pi \,\,\left[ {k \in\mathbb Z} \right]\]
Vậy \[z = {1 \over 3}\left[ {\cos {\pi \over 2} + i\sin {\pi \over 2}} \right]\]
Dạng lượng giác của căn bậc hai của z là:
\[{1 \over {\sqrt 3 }}\left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right]\] và \[ - {1 \over {\sqrt 3 }}\left[ {\cos {\pi \over 4} + i\sin {\pi \over 4}} \right] = {1 \over {\sqrt 3 }}\left[ {\cos {{5\pi } \over 4} + i\sin {{5\pi } \over 4}} \right]\]
Bài 36 trang 207 SGK giải tích 12 nâng cao
Viết dạng lượng giác của các số phức sau:
a] \[1 - i\tan {\pi \over 5}\]
\[b]\,\tan {{5\pi } \over 8} + i;\]
\[c]{\mkern 1mu} 1 - \cos \varphi - i\sin \varphi {\mkern 1mu} \left[ {\varphi \in\mathbb R,{\mkern 1mu} \varphi \ne k2\pi ,{\mkern 1mu} k \in\mathbb Z} \right]{\rm{ }}\]
Giải
\[a]\,1 - i\tan {\pi \over 5} = 1 - i{{\sin {\pi \over 5}} \over {\cos {\pi \over 5}}} \]
\[= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos {\pi \over 5} - i\sin {\pi \over 5}} \right] \]
\[= {1 \over {\cos {\pi \over 5}}}\left[ {\cos \left[ { - {\pi \over 5}} \right] + i\sin \left[ { - {\pi \over 5}} \right]} \right]\]
\[b]\,\tan {{5\pi } \over 8} + i = {{ - 1} \over {\cos {{5\pi } \over 8}}}\left[ { - \sin {{5\pi } \over 8} - i\cos {{5\pi } \over 8}} \right]\][để ý rằng \[\cos {{5\pi } \over 8} < 0\]]
\[ = {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left[ -{\cos {\pi \over 8} + i\sin {\pi \over 8}} \right] \]
\[= {1 \over {\cos {{3\pi } \over 8}}}\left[ {\cos {{7\pi } \over 8} + i\sin {{7\pi } \over 8}} \right]\]
\[c]\,\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi = 2\sin^2 {\varphi \over 2} - 2i\sin {\varphi \over 2}\cos {\varphi \over 2}\]
\[= 2\sin {\varphi \over 2}\left[ {\sin {\varphi \over 2} - i\cos {\varphi \over 2}} \right]\]
Khi \[\sin {\varphi \over 2} > 0\]thì
\[\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \]
\[= \left[ {2\sin {\varphi \over 2}} \right]\left[ {\cos \left[ {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right] +i\sin\left[ {{\varphi \over 2} - {\pi \over 2}} \right]} \right]\]là dạng lượng giác cần tìm.
Khi \[\sin {\varphi \over 2} < 0\]thì
\[\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi \]
\[= \left[ { - 2\sin {\varphi \over 2}} \right]\left[ {\cos \left[ {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right] + i\sin \left[ {{\varphi \over 2} + {\pi \over 2}} \right]} \right]\]là dạng lượng giác cần tìm.
Còn khi \[\sin {\varphi \over 2} = 0\]thì \[\,\,1 - \cos \varphi - i\sin \varphi = 0 = 0\left[ {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right]\,\,[\alpha \in\mathbb R\]tùy ý].