Bài 3.4 trang 69 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Trong khai triển ${\left[ {1 + ax} \right]^n}$ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 24x, số hạng thứ ba là 252x2. Hãy tìm a và n.
Giải:
Ta có:\[{\left[ {1 + ax} \right]^n} = 1 + C_n^1ax + C_n^2{a^2}{x^2} + ...\]
Theo bài ra:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
C_n^1a = 24 \hfill \cr
C_n^2{a^2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
{{n\left[ {n - 1} \right]{a^2}} \over 2} = 252 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
na = 24 \hfill \cr
\left[ {n - 1} \right]a = 21 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 3 \hfill \cr
n = 8 \hfill \cr} \right.. \cr} \]
Bài 3.5 trang 69 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Trong khai triển của \[{\left[ {x + a} \right]^3}{\left[ {x - b} \right]^6}\],hệ số của x7là -9 và không có số hạng chứax8. Tìma và b.
Giải:
Số hạng chứa x7là \[\left[ {C_3^0.C_6^2{{\left[ { - b} \right]}^2} + C_3^1a.C_6^1\left[ { - b} \right] + C_3^2{a^2}C_6^0} \right]{x^7}\]
Số hạng chứa x8là\[\left[ {C_3^0.C_6^1\left[ { - b} \right] + C_3^1a.C_6^0} \right]{x^8}\]
Theo bài ra ta có
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
15{b^2} - 18ab + 3{a^2} = - 9 \hfill \cr
- 6b + 3a = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
a = 2b \hfill \cr
{b^2} = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
a = - 2 \hfill \cr
b = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.. \cr}\]
Bài 3.6 trang 69 Sách bài tập [SBT] Đại số và giải tích 11
Xác định hệ số của số hạng chứatrong khai triển \[{\left[ {{x^2} - {2 \over x}} \right]^n}\]nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.
Giải:
Ta có:
\[{\left[ {{x^2} - {2 \over x}} \right]^n} = C_n^0{\left[ {{x^2}} \right]^n} + C_n^1{\left[ {{x^2}} \right]^{n - 1}}.\left[ { - {2 \over x}} \right] + C_n^2{\left[ {{x^2}} \right]^{n - 2}}.{\left[ { - {2 \over x}} \right]^2} + ...\]
Theo giả thiết, ta có:
\[\eqalign{
& C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left[ {n - 1} \right] - 97 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
n = 8 \hfill \cr
n = - 6{\rm{ }}\left[ {loại} \right] \hfill \cr} \right. \cr}\]
Vậy n = 8. Từ đó ta có:
\[\eqalign{
& {\left[ {{x^2} - {2 \over x}} \right]^8} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left[ {{x^2}} \right]}^{8 - k}}{{\left[ { - {2 \over x}} \right]}^k}} \cr
& = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left[ { - 2} \right]}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \cr} \]
Như vậy, ta phải có \[16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4\].
Do đó hệ số của số hạng chứa x4là \[{\left[ { - 2} \right]^4}.C_8^4 = 1120\].