Bài 1.11 trang 22 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho tứ giác ABCE. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm E.
Giải:
Dựng ảnh của từng điểm qua phép đối xứng tâm E ta được hình sau:
Bài 1.12 trang 22 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I[1; 2], M[-2; 3], đường thẳng d có phương trình \[3x - y + 9 = 0\]và đường tròn [C] có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 6 = 0\]
Hãy xác định tọa độ của điểm M, phương trình của đường thẳng d và đường tròn [C] theo thứ tự là ảnh của M, d và [C] qua
a] Phép đối xứng qua gốc tọa độ;
b] Phép đối xứng qua tâm I.
Giải:
a] Gọi M', d' và [C'] theo thứ tự là ảnh của M, d và [C] qua phép đối xứng qua O. Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :
\[M' = \left[ {2; - 3} \right]\], phương trình của \[d':3{\rm{x}} - y - 9 = 0\], phương trình của đường tròn \[\left[ {C'} \right]:{x^2} + {y^2} - 2{\rm{x}} + 6y + 6 = 0\]
b] Gọi M', d' và [C']theo thứ tự là ảnh của M, d và [C]qua phép đối xứng qua I .
Vì I là trung điểm của MM' nên \[M' = \left[ {4;1} \right]\]
Vì d' song song với d nên d' có phương trình \[3{\rm{x}} - y + C = 0\]. Lấy một điểm trên d, chẳng hạn \[N\left[ {0;9} \right]\]. Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là \[N'\left[ {2; - 5} \right]\]. Vì N' thuộc d nên ta có \[3.2 - \left[ { - 5} \right] + C = 0\]. Từ đó suy ra C = -11.
Vậy phương trình của d' là \[3{\rm{x}} - y - 11 = 0\].
Để tìm [C'], trước hết ta để ý rằng [C] là đường tròn tâm \[J\left[ { - 1;3} \right]\], bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là \[J'\left[ {3;1} \right]\]. Do đó [C'] là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của [C'] là \[{\left[ {x - 3} \right]^2} + {\left[ {y - 1} \right]^2} = 4\].
Bài 1.13 trang 23 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: \[x - 2y + 2 = 0\] và d đường thẳng có phương trình: \[x - 2y - 8 = 0\]. Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d và biến trục Ox thành chính nó.
Giải:
Giao của d và d' với lần lượt là \[A\left[ { - 2;0} \right]\]và \[A'\left[ {8;0} \right]\]. Phép đối xứng qua tâm cần tìm biến A thành A' nên tâm đối xứng của nó là \[I = \left[ {3;0} \right]\].
Bài 1.14 trang 23 Sách bài tập [SBT] Hình học 11
Cho ba điểm I, J, K không thẳng hàng. Hãy dựng tam giác ABC nhận I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AB, AC
Giải:
Giả sử tam giác ABC đã dựng được. Lấy điểm M bất kì. Gọi N là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I. P là ảnh của N qua phép đối xứng tâm J. Q là ảnh của P qua phép đối xứng tâm K. Khi đó \[\overrightarrow {CM} = - \overrightarrow {BN} = \overrightarrow {AP} = - \overrightarrow {CQ} \]. Do đó C là trung điểm của QM. Từ đó suy ra cách dựng tam giác ABC.