Bài 8 trang 81 - SGK Hình học 12
Xác định giá trị của \[m\] và \[n\] để mỗi cặp mặt phẳng sau đây là một cặp mặt phẳng song song với nhau:
a] \[2x + my + 3z - 5 = 0\] và \[nx - 8y - 6z + 2 = 0\];
b] \[3x - 5y + mz - 3 = 0\] và \[2x + ny - 3z + 1 = 0\];
Giải:
Hai mặt phẳng \[2x + my + 3z - 5 = 0\] và \[nx - 8y - 6z + 2 = 0\] song song với nhau khi và chỉ khi:
\[\frac{2}{n}=\frac{m}{-8}=\frac{3}{6}\neq \frac{-5}{2}\] \[\left\{\begin{matrix} n= -4 & \\ m=4& \end{matrix}\right.\].
b]Hai mặt phẳng \[3x - 5y + mz - 3 = 0\] và \[2x + ny - 3z + 1 = 0\] khi và chỉ khi :
\[\frac{3}{2}=-\frac{5}{n}=\frac{m}{3}\neq -\frac{3}{1}\]\[\left\{\begin{matrix} n=-\frac{10}{3} & \\ m=-\frac{9}{2} & \end{matrix}\right.\].
Bài 9 trang 81 - SGK Hình học 12
Tính khoảng cách từ điểm \[A[2 ; 4 ; -3]\] lần lượt đến các mặt phẳng sau:
a] \[2x - y + 2z - 9 = 0\] ;
b] \[12x - 5z + 5 = 0\] ;
c] \[x = 0\].
Giải:
a]
\[d[A,[P]]=\frac{|2.2-4+2.[-3]-9]}{\sqrt{4+1+4}}=\frac{15}{3}=5\].
b]
\[d[A,[Q]]=\frac{|12.2-5.[-3]+5]}{\sqrt{144+25}}=\frac{44}{13}.\]
c]
\[d[A,[R]] = 2\].
Bài 10 trang 81 - SGK Hình học 12.
Giải các bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ.
Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] cạnh bằng \[1\].
a] Chứng minh rằng hai mặt phẳng \[[AB'D']\] và \[[BC'D]\] song song với nhau.
b] Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.
Giải.
Xét hệ trục tọa độ \[Oxyz\] trong không gian sao cho \[A[0 ; 0 ; 0], B[1 ; 0 ; 0], D[0 ; 1 ; 0]\],\[[A'[0 ; 0 ; 1]\]. Khi đó \[B'[1 ; 0 ; 1], D'[0 ; 1 ; 1], C'[1 ; 1 ; 1]\].
a] Mặt phẳng \[[AB'D']\] qua điểm \[A\] và nhận vevtơ \[\overrightarrow{n}=\left [\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{AD'} \right ]\] làm vectơ pháp tuyến. Ta có\[\overrightarrow{AB'} = [1 ; 0 ; 1]\],\[\overrightarrow{AD'} = [0 ; 1 ; 1]\] và\[\overrightarrow{n} = [-1 ; -1 ; 1]\].
Phương trình mặt phẳng \[[AB'D']\] có dạng:
\[x + y - z = 0\]. [1]
Tương tự, mặt phẳng \[[BC'D]\] qua điểm \[B\] nhận vectơ\[\overrightarrow{m}=\left [\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC'} \right ]\]làm vectơ pháp tuyến.
Ta có\[\overrightarrow{BD} = [-1 ; 1 ; 0]\],\[\overrightarrow{BC'} = [0 ; 1 ; 1]\] và\[\overrightarrow{m} = [1 ; 1 ; -1]\].
Phương trình mặt phẳng \[[BC'D]\] có dạng:
\[ x + y - z - 1 = 0\]. [2]
So sánh hai phương trình [1] và [2], ta thấy hai mặt phẳng \[[AB'D']\] và \[[BC'D]\] song song với nhau.
Chú ý : Bài này có thể làm không cần phương pháp tọa độ như sau:
Xét hai mặt phẳng \[[AB'D']\] và \[[BC'D]\], ta có \[BD // B'D'\] vì \[BB'D'D\] là hình chữ nhật, \[AD' // BC'\] vì \[ABC'D'\] là hình chữ nhật.
Do đó mặt phẳng \[[AB'D']\] có hai đường thẳng cắt nhau \[B'D'\] và \[AD'\] lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau \[BD\] và \[BC'\] của mặt phẳng \[[BC'D]\]. Vì vậy \[[AB'D'] // [BC'D]\]
b] Vì \[[AB'D'] // [BC'D]\] nên khoảng cách từ \[A\] đến mặt phẳng \[[BC'D]\] chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Ta có:
\[h=d[A,[BC'D]]=\frac{|-1|}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\].