Bài 3.5 trang 102 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, hãy tìm trên mặt phẳng [Oxz] một điểm M cách đều ba điểm A[1; 1; 1], B[-1; 1; 0], C[3; 1; -1].
Hướng dẫn làm bài:
Điểm M thuộc mặt phẳng [Oxz] có tọa độ là [x; 0; z], cần phải tìm x và z. Ta có:
MA2= [1 x]2+ 1 + [1 z]2
MB2= [1 x]2+ 1 + z2
MC2= [3 x]2+ 1 + [1 z]2
Theo giả thiết M cách đều ba điểm A, B, C nên ta có MA2= MB2= MC2
Từ đó ta tính được \[M[{5 \over 6};0; - {7 \over 6}]\]
Bài 3.6 trang 102 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overline {BC} \]
b]\[\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\overrightarrow {AD} + {1 \over 2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có: \[\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} \]
\[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} \]
Do đó: \[\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \] vì \[\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD} \]
b] Vì \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \] và \[\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} \]nên \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]
Do đó: \[2\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {DB} \]
Vậy \[\overrightarrow {AB} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} + {1 \over 2}\overrightarrow {AD} + {1 \over 2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \]
Bài 3.7 trang 102 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:
a] \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \]
b] \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \]
Hướng dẫn làm bài:
a] Ta có MPNQ là hình bình hành vì \[\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {QN} = {1 \over 2}\overrightarrow {CD} \] và \[\overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {PN} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} \].
Do đó \[\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MQ} + \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} + {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\] hay \[2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \] [1]
Mặt khác \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} \]
\[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \]
Nên \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \] [2]
Vì \[\overrightarrow {DB} = - \overrightarrow {BD} \]
Từ [1] và [2] ta có: \[\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {MN} \] là đẳng thức cần chứng minh.
b] Ta có: \[\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {MQ} - \overrightarrow {MP} = {{\overrightarrow {AB} } \over 2} - {{\overrightarrow {CD} } \over 2}\]
Do đó: \[2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} \] [3]
Mặt khác: \[\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} \]
\[\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} - \overrightarrow {BC} \]
Nên \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} \] [4]
Vì \[\overrightarrow {CB} - [ - \overrightarrow {BC} ] = \overrightarrow 0 \]
Từ [3] và [4] ta suy ra \[\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {PQ} \] là đẳng thức cần chứng minh.
Bài 3.8 trang 102 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian cho ba vecto tùy ý \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]. Gọi \[\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b ,\overrightarrow v = 3\overrightarrow b - \overrightarrow c ,\overrightarrow {\rm{w}} = 2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a \].
Chứng tỏ rằng ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.
Hướng dẫn làm bài:
Muốn chứng tỏ rằng ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \]đồng phẳng ta cần tìm hai số thực p và q sao cho \[\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \].
Giả sử có \[\overrightarrow {\rm{w}} = p\overrightarrow u + q\overrightarrow v \]
\[2\overrightarrow c - 3\overrightarrow a = p[\overrightarrow a - 2\overrightarrow b ] + q[3\overrightarrow b - \overrightarrow c ]\]
\[\Leftrightarrow[3 + p]\overrightarrow a + [3q - 2p]\overrightarrow b - [q + 2]\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \] [1]
Vì ba vecto lấy tùy ý \[\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \]nên đẳng thức [1] xảy ra khi và chỉ khi:
\[\left\{ {\matrix{{3 + p = 0} \cr {3q - 2p = 0} \cr {q + 2 = 0} \cr} } \right. \Rightarrow\left\{ {\matrix{{p = - 3} \cr {q = - 2} \cr} } \right.\]
Như vậy ta có: \[\overrightarrow {\rm{w}} = - 3\overrightarrow u - 2\overrightarrow v \] nên ba vecto \[\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow {\rm{w}} \] đồng phẳng.