Bài 3.50 trang 162 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Cho đường tròn [C]:\[{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\] và điểm M[2;4].
a] Chứng minh rằng điểm M nằm trong [C] ;
b] Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn [C] tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.
Gợi ý làm bài
a] [C]:\[{x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0 \Rightarrow \]
[C] có
\[\left\{ \matrix{
I[1;3] \hfill \cr
\,R = 2 \hfill \cr} \right.\,\]
[R là bán kính]
\[IM = \sqrt 2 < R \Rightarrow \] M nằm trong[C]
b] Đường thẳng d cắt đường tròn [C]tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng\[AB \Rightarrow d \bot IM\] tại M
Phương trình đường thẳng:
d: - qua M[2;4]
- nhận\[\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ = [1;1]}}\] làm vectơ pháp tuyến
\[ \Rightarrow d:1.[x - 2] + 1.[y - 4] = 0\]
\[ \Rightarrow d:x + y - 6 = 0.\]
Bài 3.51 trang 162 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip [E] :\[{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\]
a] Xác định độ dài các trục, tiêu cự của elip [E] ;
b] Tìm các điểm M thuộc [E] sao cho\[{1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}}\].
Gợi ý làm bài
\[[E]:{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\]
a] Ta có :
\[\left\{ \matrix{
{a^2} = 25 \Rightarrow a = 5 \hfill \cr
{b^2} = 9 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr} \right.\]
\[ \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4.\]
Độ dài trục lớn :\[{A_1}{A_2} = 2a = 10\];Độ dài trục bé :\[{B_1}{B_2} = 2b = 6\].Tiêu cự :\[{F_1}{F_2} = 2c = 8\]
b] M thuộc \[[E] \Rightarrow \left\{ \matrix{
M{F_1} = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr
M{F_2} = a - {c \over a}x = 5 - {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.\]
\[{1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}} \Leftrightarrow 25 - {{16} \over {25}}{x^2} = 10\]
\[ \Leftrightarrow x \pm {{5\sqrt {15} } \over 4} \Rightarrow y = \pm {3 \over 4}\]
Vậy : có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bào toán là: \[M\left[ { \pm {{5\sqrt {15} } \over 4}; \pm {3 \over 4}} \right].\]
Bài 3.52 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn [C]:\[{x^2} + {y^2} + 4x + 4y + 6 = 0\] và đường thẳng\[\Delta :x + my - 2m + 3 = 0\] với m là tham số thực.
a] Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn [C] ;
b] Tìm m để cắt [C] tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
Gợi ý làm bài
[Xem hình 3.12]
a] Đường tròn [C] có tâm I[-2;-2] và bán kính \[R = \sqrt {2.} \]
b] Diện tích tam giác IAB là :
\[S = {1 \over 2}IA.IB\sin AIB \le {1 \over 2}{R^2} = 1.\]
S lớn nhất\[ \Leftrightarrow S = 1\]
\[ \Leftrightarrow \sin AIB = 1\]
\[ \Leftrightarrow IA \bot IB\]
\[ \Leftrightarrow d\left[ {I,\Delta } \right] = {R \over {\sqrt 2 }}\]
\[ \Leftrightarrow {{\left| { - 2 - 2m - 2m + 3} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} = 1\]
\[ \Leftrightarrow {\left[ {1 - 4m} \right]^2} = 1 + {m^2}\]
\[ \Leftrightarrow 15{m^2} - 8m = 0\]
\[ \Leftrightarrow m = 0$ hay$m = {8 \over {15}}\]
Bài 3.53 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán Hình Học 10
Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có A[-1;4] và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : \[\Delta :x - y - 4 = 0\]
a] Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng\[\Delta \]
b] Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
Gợi ý làm bài
a] Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm của BC.
\[AH = d[A,BC] = {9 \over {\sqrt 2 }}$
b]\[BC = {{2{S_{\Delta ABC}}} \over {AH}} = 4\sqrt 2 .\]
\[AB = AC = \sqrt {A{H^2} + {{B{C^2}} \over 4}} = \sqrt {{{97} \over 2}} .\]
Tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ :
\[\left\{ \matrix{
{\left[ {x + 1} \right]^2} + {[y - 4]^2} = {{97} \over 2} \hfill \cr
x - y - 4 = 0\,. \hfill \cr} \right.\]
Giải hệ ta được$\left[ {x;y} \right] = \left[ {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right]$ hoặc$\left[ {x;y} \right] = \left[ {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right]\]
Vậy \[B\left[ {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right]\,,\,C\left[ {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right]$ hoặc$B\left[ {{3 \over 2}; - {5 \over 2}} \right]\,,C\left[ {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right]\,.\]