Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm m để hàm số
a] \[y = {x^3} + [m + 3]{x^2} + mx - 2\] đạt cực tiểu tại x = 1
b] \[y = - {1 \over 3}[{m^2} + 6m]{x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\] đạt cực đại tại x = -1;
Hướng dẫn làm bài:
a]
\[\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 2[m + 3]x + m \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow3{x^2} + 2[m + 3]x + m = 0 \cr} \]
Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:
\[y'[1] = 3 + 2[m + 3] + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow m = - 3\]
Khi đó,
\[\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 3 \cr
& y'' = 6x;y''[1] = 6 > 0 \cr} \]
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3
b]
\[\eqalign{
& y' = - [{m^2} + 6m]{x^2} - 4mx + 3 \cr
& y'[ - 1] = - {m^2} - 6m + 4m + 3\cr & = [ - {m^2} - 2m - 1] + 4 = - {[m + 1]^2} + 4 \cr} \]
Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :
\[\eqalign{
& y'[ - 1] = - {[m + 1]^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow{[m + 1]^2} = 4 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 3 \hfill \cr
m = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Với m = -3 ta có y = 9x2+ 12x + 3
\[\Rightarrowy = 18x + 12\]
\[\Rightarrowy[-1] = -18 + 12 = -6 < 0\]
Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.
Với m = 1 ta có:
\[y' = - 7{x^2} - 4x + 3 \]
\[\Rightarrowy'' = - 14x - 4\]
\[\Rightarrow y''[ - 1] = 10 > 0\]
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1
Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3.
Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm m để hàm số
a] \[y = {x^4} + [{m^2} - 4]{x^2} + 5\] có 3 cực trị
b] \[y = [m - 1]{x^4} - m{x^2} + 3\]có đúng một cực trị.
Hướng dẫn làm bài:
a] Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :
\[y' = 4{x^3} + 2[{m^2} - 4]x = 2x[2{x^2} + {m^2} - 4] = 0\] có 3 nghiệm phân biệt
\[\Leftrightarrow{x^2} + {m^2} - 4 = 0\]có 2 nghiệm phân biệt khác 0
\[\Leftrightarrow4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow- 2 < m < 2\]
Vậy với - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.
b] \[y' = 4[m - 1]{x^3} - 2mx = 2x[2[m - 1]{x^2} - m{\rm{]}}\]
Hàm số có đúng một cực trị khi y = 0 có đúng một nghiệm, tức là:
\[2x[2[m - 1]{x^2} - m{\rm{] = 0}}\] chỉ có nghiệm x = 0
Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc \[{m \over {2[m - 1]}} \le 0 \Leftrightarrow0 \le m \le 1\]
Vậy với \[0 \le m \le 1\]hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.
Bài 1.36 trang 34 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Tìm m để hàm số: \[y = {1 \over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2[m - 1]x - 2\]không có cực trị
Hướng dẫn làm bài:
Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:
\[y' = m{x^2} + 2mx + 2[m - 1] = 0\]không có 2 nghiệm phân biệt.
Muốn vậy, phải có:
\[\eqalign{
& \Delta ' = {m^2} - 2m[m - 1] = - {m^2} + 2m \le 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le 0 \hfill \cr
m \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy với m 0 hoặc m 2 hàm số đã cho không có cực trị.
Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập [SBT] Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số: \[y = {x^3} - 3[m - 1]{x^2} - 3[m + 3]x - 5\] luôn có cực trị với mọi giá trị của m R
Hướng dẫn làm bài:
\[\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6[m - 1]x - 3[m + 3] \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow{x^2} - 2[m - 1]x - m - 3 = 0 \cr} \]
Hàm số cực trị khi và chỉ khi y = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
\[ \Leftrightarrow\Delta ' = {[m - 1]^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 \ge 0\]
Ta thấy tam thức \[\Delta ' = {m^2} - m + 4\]luôn dương với mọi \[m \in R\]vì \[\delta = 1 - 16 = - 15 < 0\]và a = 1 > 0.
Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.