Bài 3.58 trang 132 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0[x0, y0, z0] và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
[P] Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: Ax + By + Cz + D = 0
Hướng dẫn làm bài:
Do [P] và [Q] cắt nhau nên\[\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} \ne \overrightarrow 0 \]. Đường thẳng d đi qua M0và có vecto chỉ phương
\[\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = [\left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B'} \cr} } & {\matrix{C \cr {C'} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C'} \cr} } & {\matrix{A \cr {A'} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A'} \cr} } & {\matrix{B \cr {B'} \cr}} \cr} } \right|]\]
Do đó phương trình tham số của d là: \[\left\{ {\matrix{{x = {x_0} + \left| {\matrix{{\matrix{B \cr {B'} \cr} } & {\matrix{C \cr {C'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {y = {y_0} + \left| {\matrix{{\matrix{C \cr {C'} \cr} } & {\matrix{A \cr {A'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr {z = {z_0} + \left| {\matrix{{\matrix{A \cr {A'} \cr} } & {\matrix{B \cr {B'} \cr} } \cr} } \right|t} \cr} } \right.\]
Đặc biệt phương trình trên cũng là phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng cắt nhau [P]: Ax + By + Cz + D = 0 và [Q]: Ax + By + Cz + D = 0 với M0là điểm chung của [P] và [Q].
Bài 3.59 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho mặt phẳng [P] : x + 2y 2z + 3 = 0 và đường thẳng d: \[\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 9} \cr} } \right.\]
Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng [P].
Hướng dẫn làm bài:
Đường thẳng d đi qua A[1; 1; 9] và có vecto chỉ phương \[\overrightarrow a [1;1;0]\]. Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với [P].
Ta có:\[\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \overrightarrow {{n_P}} = [ - 2;2;1]\]
Phương trình của [Q] là : -2x + 2y + z 9 = 0
Khi đó:\[d' = [P] \cap [Q]\]
Ta có:\[\overrightarrow {{n_P}} \wedge \overrightarrow {{n_Q}} = [6;3;6]\]
Chọn vecto chỉ phương của d là:\[\overrightarrow {{a_{d'}}} = [2;1;2]\]
Lấy một điểm thuộc \[[P] \cap [Q]\], chẳng hạn A[-3; 1; 1]
Khi đó, phương trình của d là: \[\left\{ {\matrix{{x = - 3 + 2t} \cr {y = 1 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\]
Bài 3.60 trang 133 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho điểm A[-4; -2; 4] và đường thẳng d: \[\left\{ {\matrix{{x = - 3 + 2t} \cr {y = 1 - t} \cr {z = - 1 + 4t} \cr} } \right.\]
Viết phương trình đường thẳng \[\Delta \]đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d.
Hướng dẫn làm bài:
Ta có:\[\overrightarrow {{a_d}} = [2; - 1;4]\]
Xét điểm B[3 + 2t; 1 t ; 1 + 4t] thì\[\overrightarrow {AB} = [1 + 2t;3 - t; - 5 + 4t]\]
\[AB \bot d \Leftrightarrow\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{a_d}} = 0\]
\[\Leftrightarrow2[1 + 2t] - [3 - t] + 4[ - 5 + 4t] = 0 \Leftrightarrowt = 1\]
Suy ra\[\overrightarrow {AB} = [3;2; - 1]\]
Vậy phương trình của \[\Delta \]là:\[{{x + 4} \over 3} = {{y + 2} \over 2} = {{z - 4} \over { - 1}}\]