Bài 3.69 trang 134 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A[1; 0; 0], B[0; 1; 0], C[0; 0; 1] và D[1; 1; 0].
a] Viết phương trình mặt cầu [S] đi qua bốn điểm A, B, C, D.
b] Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu [S] với mặt phẳng [ACD].
Hướng dẫn làm bài:
a] Phương trình mặt cầu [S] có dạng x2 + y2 + z2 2ax 2by 2cz + d = 0 [*]
Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào [*] ta có:
\[\left\{ {\matrix{{1 - 2a + d = 0} \cr {1 - 2b + d = 0} \cr {1 - 2c + d = 0} \cr {2 - 2a - 2b + d = 0} \cr} } \right.\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{a = {1 \over 2}} \cr {b = {1 \over 2}} \cr {c = {1 \over 2}} \cr {d = 0} \cr} } \right.\]
Vậy phương trình mặt cầu [S] là: x2 + y2 + z2 x y z = 0
b] Ta có \[\overrightarrow {AC} = [ - 1;0;1]\]và\[\overrightarrow {AD} = [0;1;0]\]
Suy ra [ACD] có vecto pháp tuyến\[\overrightarrow n = \overrightarrow {AC} \wedge \overrightarrow {AD} = [ - 1;0; - 1]\] hay\[\overrightarrow {n'} = [1;0;1]\]
Vậy phương trình của mặt phẳng [ACD] là x 1 + z = 0 hay x + z 1 = 0
Mặt cầu [S] có tâm \[I[{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}]\]
Ta có \[I \in [ACD]\], suy ra mặt phẳng [ACD] cắt [S] theo một đường tròn có tâm \[I[{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}]\]và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu [S], vậy:\[r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{1 \over 4} + {1 \over 4} + {1 \over 4}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\].
Bài 3.70 trang 134 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Cho hai đường thẳng \[{\Delta _1}:{x \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {z \over 4}\] và \[{\Delta _2}:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 2 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\]
a] Viết phương trình mặt phẳng \[[\alpha ]\]chứa \[{\Delta _1}\]và song song với \[{\Delta _2}\]
b] Cho điểm M[2; 1; 4]. Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \[{\Delta _2}\]sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.
Hướng dẫn làm bài:
a] Phương trình tham số của đường thẳng \[{\Delta _1}:\left\{ {\matrix{{x = 2t'} \cr {y = - 2 + 3t'} \cr {z = 4t'} \cr} } \right.\]
\[{\Delta _1}\]đi qua điểm M1[0; -2; 0] và có vecto chỉ phương\[\overrightarrow {{a_1}} = [2;3;4]\]
\[{\Delta _2}\] đi qua điểm M2 [1; 2; 1] và có vecto chỉ phương\[\overrightarrow {{a_2}} = [1;1;2]\]
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến\[\overrightarrow n = \overrightarrow {{a_1}} \wedge \overrightarrow {{a_2}} = [2;0; - 1]\]
\[[\alpha ]\]đi qua điểm M1[0; -2; 0] và có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow n \], vậy phương trình của \[[\alpha ]\]là: 2x z = 0
b] Xét điểm \[H[1 + t;2 + t;1 + 2t] \in {\Delta _2}\]
\[\overrightarrow {MH} = [t - 1;t + 1;2t - 3]\]
Ta có: MH nhỏ nhất\[\LeftrightarrowMH \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow\overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_2}} = 0\]
\[\Leftrightarrow t 1 + t +1 + 2[2t 3] = 0 \Leftrightarrow t = 1\]
Vậy ta được H[2; 3; 3]
Bài 3.71 trang 134 sách bài tập [SBT] Hình học 12
Trong không gian Oxyz, cho điểm D[-3; 1 ; 2] và mặt phẳng \[[\alpha ]\]đi qua ba điểm A[1; 0; 11], B[0; 1; 10], C[1; 1; 8].
a] Viết phương trình đường thẳng AC.
b] Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \[[\alpha ]\].
c] Viết phương trình mặt cầu [S] tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng \[[\alpha ]\]cắt mặt cầu [S].
Hướng dẫn làm bài:
a] Đường thẳng AC có vecto chỉ phương\[\overrightarrow {AC} = [0;1; - 3]\]
Phương trình tham số của đường thẳng AC: \[\left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = t} \cr {z = 11 - 3t} \cr} } \right.\]
b] Ta có: \[\overrightarrow {AB} = [ - 1;1; - 1]\] và\[\overrightarrow {AC} = [0;1; - 3]\]
\[\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} \wedge \overrightarrow {AC} = [ - 2; - 3; - 1]\]
Suy ra \[[\alpha ]\]có vecto pháp tuyến\[\overrightarrow n = [ - 2; - 3; - 1]\]
Mặt phẳng \[[\alpha ]\]có phương trình:
\[ 2[x 1] + 3[y] + [z 11] = 0\] hay \[2x + 3y + z 13 = 0\]
c] Phương trình mặt cầu [S] tâm D bán kính 5: [x + 3]2 + [y 1]2 + [z 2]2 = 25
Ta có\[d[D,[\alpha ]] = {{|2.[ - 3] + 3.[1] + [2] - 13|} \over {\sqrt {4 + 9 + 1} }} = {{14} \over {\sqrt {14} }} = \sqrt {14} < 5\]
Do đó\[d[D,[\alpha ]] < r\]. Vậy mặt phẳng \[[\alpha ]\]cắt mặt cầu [S].