Bài 3.7 trang 172 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính:
a] \[\int {{{\sin }^4}x} dx\]
b] \[\int {{1 \over {{{\sin }^3}x}}dx} \]
c] \[\int {{{\sin }^3}x{{\cos }^4}xdx} \]
d] \[\int {{{\sin }^4}x{{\cos }^4}xdx} \]
e] \[\int {{1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}}} dx\]
g]\[\int {{{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}}} dx\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{3 \over 8}x - {{\sin 2x} \over 4} + {{\sin 4x} \over {32}} + C\]
HD: \[{\sin ^4}x = {{{{[1 - \cos 2x]}^2}} \over 4} = {1 \over 4}[{3 \over 2} - 2\cos 2x + {1 \over 2}\cos 4x]\]
b]\[{1 \over 2}\ln |\tan {x \over 2}| - {{\cos x} \over {2{{\sin }^2}x}} + C\]
Hd: Đặt u = cot x
c] \[{\cos ^5}x[{{{{\cos }^2}x} \over 7} - {1 \over 5}] + C\] . HD: Đặt u = cos x
d] \[{1 \over {128}}[3x - \sin 4x + {1 \over 8}\sin 8x] + C\]
HD: \[{\sin ^4}x{\cos ^4}x = {1 \over {{2^4}}}{[{\sin ^2}2x]^2} = {1 \over {{2^6}}}{[1 - \cos 4x]^2}\]
e] \[\ln |\tan [{x \over 2} + {\pi \over 4}]| - {1 \over {\sin x}} + C\].
HD:\[{1 \over {\cos x{{\sin }^2}x}} = {{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \over {\cos x{{\sin }^2}x}}\]
g] \[\tan {x \over 2} - 2\ln |\cos {x \over 2}| + C\]. HD: \[{{1 + \sin x} \over {1 + \cos x}} = {1 \over {2{{\cos }^2}{x \over 2}}} + {{\sin {x \over 2}} \over {\cos {x \over 2}}}\]
Bài 3.8 trang 172 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số \[f[x] = {1 \over {1 + \sin x}}\]?
a]\F[x] = 1 - \cot [{x \over 2} + {\pi \over 4}]\]
b] \[G[x] = 2\tan {x \over 2}\]
c] \[H[x] = \ln [1 + \sin x]\]
d] \[K[x] = 2[1 - {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}}]\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[F[x] = 1 - \cot [{x \over 2} + {\pi \over 4}]\]
d] \[K[x] = 2[1 - {1 \over {1 + \tan {x \over 2}}}]\]
Bài 3.9 trang 173 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Tính các nguyên hàm sau đây:
a] \[\int {[x + \ln x]{x^2}dx} \] b] \[\int {[x + {{\sin }^2}x]\sin xdx} \]
c] \[\int {[x + {e^x}]{e^{2x}}dx} \] d]\[\int {[x + \sin x]{{dx} \over {{{\cos }^2}x}}} \]
e] \[\int {{{{e^x}\cos x + [{e^x} + 1]\sin x} \over {{e^x}\sin x}}} dx\]
Hướng dẫn làm bài
a] \[{{{x^4}} \over 4} + {{{x^3}} \over 3}[\ln x - {1 \over 3}] + C\]. HD: Đặt \[u = x + \ln x;dv = {x^2}dx\]
b] \[\sin x - [x + 1]\cos x + {1 \over 3}{\cos ^3}x + C\]
HD: Đặt \[u = x + {\sin ^2}x,dv = \sin xdx\]
c] \[{{{e^{2x}}} \over {12}}[4{e^x} + 6x - 3] + C\] . HD: Đặt \[u = x + {e^x},dv = {e^{2x}}dx\]
d] \[x\tan x + \ln |\cos x| + {1 \over {\cos x}} + C\]. HD: Đặt \[u = x + \sin x,dv = d[\tan x]\]
e] \[\ln |{e^x}\sin x| - {e^{ - x}} + C\]. HD: \[d[{e^x}\sin x] = [{e^x}\sin x + {e^x}\cos x]dx\]