Bài 37 trang 208 SGK giải tích 12 nâng cao
Tìm phần thực, phần ảo củamỗi số phức sau:
\[a]\,{\left[ {2 - 3i} \right]^3}\,;\]
\[b]\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\,;\]
\[c]\,{\left[ {x + iy} \right]^2} - 2\left[ {x + iy} \right] + 5\,\,\left[ {x,y \in\mathbb R} \right].\]
Với x,y nào thì số phức đó là số thực?
Giải
\[a]\,{\left[ {2 - 3i} \right]^3} = {2^3} - 3.2.3i\left[ {2 - 3i} \right] - {\left[ {3i} \right]^3} \]
\[= 8 - 18i\left[ {2 - 3i} \right] + 27i = - 46 - 9i\]
Vậy phần thực là \[-46\], phần ảo là \[-9\].
\[\eqalign{ & b]\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} = {{\left[ {3 + 2i} \right]\left[ {1 + i} \right]} \over 2} = {{1 + 5i} \over 2} = {1 \over 2} + {5 \over 2}i \cr & {{1 - i} \over {3 - 2i}} = {{\left[ {1 - i} \right]\left[ {3 + 2i} \right]} \over {13}} = {{5 - i} \over {13}} = {5 \over {13}} - {1 \over {13}}i \cr} \]
Do đó \[\,{{3 + 2i} \over {1 - i}} + {{1 - i} \over {3 - 2i}}\, ={1 \over 2} + {5 \over 2}i +{5 \over {13}} - {1 \over {13}}i= {{23} \over {26}} + {{63} \over {26}}i\]
Vậy phần thực là \[{{23} \over {26}}\], phần ảo là \[{{63} \over {26}}\]
\[c]\,\,{\left[ {x + iy} \right]^2} - 2\left[ {x + iy} \right] + 5 \]
\[= {x^2} - {y^2} - 2x + 5 + 2y\left[ {x - 1} \right]i\]
Vậy phần thực là \[{x^2} - {y^2} - 2x + 5\], phần ảo là \[2y\left[ {x - 1} \right]\].
Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi \[2y\left[ {x - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow y = 0\]hoặc \[x = 1\].
Bài 38 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao
Chứng minh rằng \[\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\] thì số \[{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\] là số thực [giả sử \[1 + z{\rm{w}} \ne 0\]].
Giải
Ta có \[z.\overline z = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\]. Tương tự \[\overline {\rm{w}} = {1 \over {\rm{w}}}\]
Do đó \[\overline {\left[ {{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}} \right]} = {{\overline z + \overline {\rm{w}} } \over {1 + \overline z .\overline {\rm{w}} }} = {{{1 \over z} + {1 \over {\rm{w}}}} \over {1 + {1 \over z}.{1 \over {\rm{w}}}}} = {{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\].
Suy ra \[{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\]là số thực.
Bài 39 trang 209 SGK giải tích 12 nâng cao
Giải các phương trình sau trên C:
\[\eqalign{ & a]\,{\left[ {z + 3 - i} \right]^2} - 6\left[ {z + 3 - i} \right] + 13 = 0; \cr & b]\,\left[ {{{iz + 3} \over {z - 2i}}} \right]^2 - 3{{iz + 3} \over {z - 2i}} - 4 = 0; \cr} \]
\[c]\,\,{\left[ {{z^2} + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = 0.\]
Giải
a] Đặt \[{\rm{w}} = z + 3 - i\] ta được phương trình:
\[\eqalign{ & {{\rm{w}}^2} - 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left[ {{\rm{w}} - 3} \right]^2} = - 4 = 4{i^2} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr {\rm{w}} = 3 - 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 3 - i = 3 + 2i \hfill \cr z + 3 - i = 3 - 2i \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = 3i \hfill \cr z = - i \hfill \cr} \right. \cr} \]
Vậy \[S = \left\{ { - i;3i} \right\}\]
b] Đặt \[{\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z - 2i}}\]ta được phương trình: \[{{\rm{w}}^2} - 3{\rm{w}} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = - 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr} \right.\]
Với \[{\rm{w}}= -1\] ta có \[{{iz + 3} \over {z - 2i}} = - 1 \Leftrightarrow iz + 3 = - z + 2i\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {i + 1} \right]z = - 3 + 2i\]
\[\Leftrightarrow z = {{ - 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left[ { - 3 + 2i} \right]\left[ {1 - i} \right]} \over 2} = {{ - 1 + 5i} \over 2}\]
Với \[{\rm{w}}= 4\] ta có \[{{iz + 3} \over {z - 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left[ {4 - i} \right]z = 3 + 8i\]
\[ \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 - i}} = {{\left[ {3 + 8i} \right]\left[ {4 + i} \right]} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\]
Vậy \[S = \left\{ {{{ - 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\]
\[c]\,{\left[ {{z^2} + 1} \right]^2} + {\left[ {z + 3} \right]^2} = {\left[ {{z^2} + 1} \right]^2} - {\left[ {i\left[ {z + 3} \right]} \right]^2}\]
\[ = \left[ {{z^2} + 1 + i\left[ {z + 3} \right]} \right]\left[ {{z^2} + 1 - i\left[ {z + 3} \right]} \right] = 0\]
\[\Leftrightarrow\left[ \matrix{ {z^2} + 1 + i\left[ {z + 3} \right] = 0\,\,\left[ 1 \right] \hfill \cr {z^2} + 1 - i\left[ {z + 3} \right] = 0\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right.\]
Phương trình [1] là phương trình bậc hai \[{z^2} + iz + 1 + 3i = 0\];
\[\Delta = - 5 - 12i = {\left[ {2 - 3i} \right]^2}\]
Phương trình có hai nghiệm là \[{z_1} = 1 - 2i\]và \[{z_2} = - 1 + i\].
Phương trình [2] là phương trình bậc hai \[{z^2} - iz + 1 - 3i = 0\];
\[\Delta = - 5 + 12i = {\left[ {2 + 3i} \right]^2}\]
Phương trình có hai nghiệm là \[{z_3} = 1 + 2i\]và \[{z_4} = - 1 - i\]
Vậy \[S = \left\{ {1 - 2i; - 1 + i;1 + 2i; - 1 - i} \right\}\]