Bài 72 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số: \[f\left[ x \right] = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + {{17} \over 3}\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b] Chứng minh rằng phương trình f[x] =0 có ba nghiệm phân biệt.
Giải
a] TXĐ: \[D =\mathbb R\]
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \cr
& y'\left[ x \right] = {x^2} - 4x;\,\,\,f'\left[ x \right] = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.;\,f\left[ 0 \right] = {{17} \over 3};\,f\left[ 4 \right] = - 5 \cr} \]
\[\eqalign{
& f''\left[ x \right] = 2x - 4;\,f''\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 2 \cr
& f\left[ 2 \right] = {1 \over 3} \cr} \]
Điểm uốn \[I\left[ {2;{1 \over 3}} \right]\]
Đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.
b] Hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu và giá tị cực đại, cực tiểu trái dấu, tức hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía đối với trục hoành do đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số \[f\left[ x \right] = {x^3} + px + q\]
a] Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.
b] Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: \[{x^3} + px + q = 0\,\,\left[ 1 \right]\] có ba nghiệm phân biệt.
c] Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình [1] có ba nghiệm phân biệt là: \[4{p^3} + 27{q^2} < 0\]
Giải
a] Ta có \[f'\left[ x \right] = 3{x^2} + p\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + p = 0\,\,\left[ 1 \right]\]
Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình [1] có hai nghiệm phân biệt \[\Leftrightarrow p < 0\]
Khi đó hai nghiệm của [1] là: \[x = - \sqrt { - {p \over 3}} ;\,\,\,x = \sqrt { - {p \over 3}} \]
Bảng biến thiên:
Với \[M = {\left[ { - \sqrt { - {p \over 3}} } \right]^3} - p\sqrt { - {p \over 3}} +q= q - {2 \over 3}p\sqrt { - {p \over 3}} \]
\[m = {\left[ {\sqrt { - {p \over 3}} } \right]^3} + p\sqrt { - {p \over 3}} + q = q + {2 \over 3}p\sqrt { - {p \over 3}} \]
b] Nếu Mm\sqrt { - {p \over 3}} \]
c] Nếu Mm > 0 thì hai số M và m cùng dấu.
Nếu M < 0 và m < 0 thì phương trình [1] có nghiệm duy nhất [Lớn hơn \[\sqrt { - {p \over 3}} \]]
Nếu M > 0 và m > 0 thì phương trình [1] có nghiệm duy nhất [ Nhỏ hơn \[\sqrt { - {p \over 3}} \]]
Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình [1] có ba nghiệm phân biệt là:
\[\left\{ \matrix{
p < 0 \hfill \cr
Mm = {q^2} - {4 \over 9}{p^2}\left[ { - {p \over 3}} \right] < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 4{p^3} + 27{q^2} < 0\]
Bài 74 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số: \[f\left[ x \right] = {x^3} - 3x + 1\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
b] Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn U của nó.
c] Gọi \[\left[ {{d_m}} \right]\]là đường thẳng đi qua điểm U và có hệ số góc m. Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng\[\left[ {{d_m}} \right]\] cắt đồ thị của hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt.
Giải
a] Tập xác định \[D=\mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 3\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\] và \[ \left[ {1; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[-1;1]\]
+] Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=-1;y[-1]=3\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x=1; y[1]=-1\]
+] Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f[x] = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f[x] = - \infty \cr} \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đồ thị giao trục \[Oy\] tại điểm \[[0;1]\]
Hàm số đồ thị nhận \[I[0;1]\] làm tâm đối xứng
b] \[f'\left[ x \right] = 3{x^2} - 3\]
\[f''\left[ x \right]6x;\,f''\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow x = 0\]
\[f\left[ 0 \right] = 0\]. Điểm uốn I[0;1]
Phương tiếp tuyến của [C] tại I là:
\[y - 1 = f'\left[ 0 \right]\left[ {x - 0} \right] \Leftrightarrow y = - 3x + 1\]
c] Phương trình đường thẳng \[\left[ {{d_m}} \right]\] là y = mx +1.
Hoành độ giao điểm của đường thẳng\[\left[ {{d_m}} \right]\] và đường cong [C] là nghiệm của phương trình
\[{x^3} - 3x + 1 = mx + 1 \Leftrightarrow {x^3} - \left[ {m + 3} \right]x = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
{x^2} = m + 3 \hfill \cr} \right.\]
\[\left[ {{d_m}} \right]\]cắt [C] tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi [1] có 3 nghiệm phân biệt, tức \[m + 3 > 0 \Leftrightarrow m > - 3\]
Bài 75 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao
Cho hàm số: \[y = {x^4} - \left[ {m + 1} \right]{x^2} + m\]
a] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.
b] Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.
Giải
a] Với \[m=2\] hàm số đã cho có dạng: \[y={x^4} - 3{x^2} + 3\]
Tập xác định: \[D=\mathbb R\]
\[\eqalign{
& y' = 4{x^3} - 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr
x = - {{\sqrt 6 } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Hàm số đồng biến trên khoảng: \[\left[ { - {{\sqrt 6 } \over 2};0} \right]\] và \[\left[ {{{\sqrt 6 } \over 2}; + \infty } \right]\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng: \[\left[ { - \infty ; - {{\sqrt 6 } \over 2}} \right]\] và \[\left[ {0;{{\sqrt 6 } \over 2}} \right]\]
Cực trị:
Hàm số đạt cực đại tại \[x=0;\,\,y[0]=2\]
Hàm số đạt cực tiểu tại \[x = {{\sqrt 6 } \over 2}\] và \[x = - {{\sqrt 6 } \over 2}\], \[y\left[ { \pm {{\sqrt 6 } \over 2}} \right] = - {1 \over 4}\]
Giới hạn: \[\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = + \infty \]
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Đồ thi cắt tung độ tại điểm \[[0;2]\]
Đồ thị cắt hoành độ tại 4 điểm: \[\left[ { - \sqrt 2 ;0} \right],\left[ { - 1;0} \right]\left[ {1;0} \right],\left[ {\sqrt 2 ;0} \right]\]
Đồ thị hàm số là hàm chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.
b] Hoành độ giao điểm của đường cong [C] và trục là nghiệm phương trình
\[{x^4} - \left[ {m + 1} \right]{x^2} + m = 0\,\,\,\left[ 1 \right]\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = m \hfill \cr} \right.\]
[1] có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m>0 và \[m \ne 1\]
Khi đó [1] có 4 nghiệm: \[x = - 1;\,x = 1;\,x = - \sqrt m ;\,x = \sqrt m \]
* \[ - \sqrt m < - 1 < 1 < \sqrt m \]
[C] cắt trục tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \[\sqrt m - 1 = 1 - \left[ { - 1} \right] = 2 \Leftrightarrow m = 9\]
* \[ - 1 < - \sqrt m < \sqrt m < 1\]
[C] cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành ba đoạn thẳng bằng nhau khi \[1 - \sqrt m = \sqrt m - \left[ { - \sqrt m } \right] = 2\sqrt m \]
Vậy m= 9 hoặc \[m = {1 \over 9}\]