Câu 38 trang 57 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương trình:
a] \[{x^2} - 6x + 8 = 0\]
b] \[{x^2} - 12x + 32 = 0\]
c] \[{x^2} + 6x + 8 = 0\]
d]\[{x^2} - 3x - 10 = 0\]
e]\[{x^2} + 3x - 10 = 0\]
Giải
a]
\[\eqalign{
& {x^2} - 6x + 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 3} \right]^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 6} \cr
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = 4} \right.\]
b]
\[\eqalign{
& {x_2} - 12x + 32 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 6} \right]^2} - 1.32 = 36 - 32 = 4 > 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 12} \cr
{{x_1}{x_2} = 32} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 4;{x_2} = 8} \right.\]
c]
\[\eqalign{
& {x^2} + 6x + 8 = 0 \cr
& \Delta ' = {3^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr} \]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = - 6} \cr
{{x_1}{x_2} = 8} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = - 2} \right.;{x_2} = - 4\]
d]
\[{x^2} - 3x - 10 = 0;a = 1;c = - 10 \Leftrightarrow ac < 0\]
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = 3} \cr
{{x_1}{x_2} = - 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = - 2} \right.;{x_2} = 5\]
e]\[{x^2} + 3x - 10 = 0;a = 1;c = - 10;ac < 0\]
Phương trình có hai nghiệm
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\left\{ {\matrix{
{{x_1} + {x_2} = - 3} \cr
{{x_1}{x_2} = - 10} \cr} \Leftrightarrow {x_1} = 2;{x_2} = - 5} \right.\]
Câu 39 trang 57 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
a] Chứng tỏ rằng phương trình \[3{x^2} + 2x - 21 = 0\]có một nghiệm là -3. Hãy tìm nghiệm kia
b] Chứng tỏ rằng phương trình \[- 4{x^2} - 3x + 115 = 0\]có một nghiệm là 5. Tìm nghiệm kia
Giải
a] Thay x = -3 vào vế trái của phương trình ta có:
\[3{\left[ { - 3} \right]^2} + 2\left[ { - 3} \right] - 21 = 27 - 6 - 21 = 0\]
Vậy x = -3 là nghiệm của phương trình\[3{x^2} + 2x - 21 = 0\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[{x_1}{x_2} = {{ - 21} \over 3} \Rightarrow - 3.{x_2} = {{ - 21} \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = {7 \over 3}\]
b] Thay x = 5 vào vế trái của phương trình ta có:
\[- {4.5^2} - 3.5 + 115 = - 100 - 15 + 115 = 0\]
Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình\[- 4{x^2} - 3x + 115 = 0\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[{x_1}{x_2} = {{115} \over { - 4}} \Rightarrow 5{x_2} = - {{115} \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = - {{23} \over 4}\]
Câu 40 trang 57 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2của phương trình rồi tìm giá trị của m trong mỗi trường hợp sau:
a] Phương trình \[{x^2} + mx - 35 = 0\], biết nghiệm x1= 7
b] Phương trình \[{x^2} - 13x + m = 0,\]biết nghiệm x1= 12,5
c] Phương trình \[4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0,\]biết nghiệm x1= -2
d] Phương trình \[3{x^2} - 2\left[ {m - 3} \right]x + 5 = 0,\]biết nghiệm\[{x_1} = {1 \over 3}\]
Giải
a] Phương trình \[{x^2} + mx - 35 = 0\]có nghiệm x1= 7
Theo hệ thức Vi-ét ta có:\[{x_1}{x_2} = - 35 \Rightarrow 7{x_2} = - 35 \Leftrightarrow {x_2} = - 5\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[\eqalign{
& {x_1} + {x_2} = - m \cr
& \Rightarrow - m = 7 + \left[ { - 5} \right] \Leftrightarrow - m = 2 \Leftrightarrow m = - 2 \cr} \]
Vậy m = -2 thì phương trình \[{x^2} + mx - 35 = 0\]có nghiệm x1= 7 và nghiệm x2= -5
b] Phương trình \[{x^2} - 13x + m = 0\]có nghiệm x1= 12,5
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[{x_1} + {x_2} = 13 \Rightarrow 12,5 + {x_2} = 13 \Leftrightarrow {x_2} = 0,5\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:\[{x_1}{x_2} = m \Rightarrow m = 12,5.0,5 = 6,25\]
Vậy với m = 6,25 thì phương trình \[{x^2} - 13x + m = 0\]có nghiệm x1= 12,5 và có nghiệm x2= 0,5
c] Phương trình \[4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\]có nghiệm x1= -2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[{x_1} + {x_2} = - {3 \over 4} \Rightarrow - 2 + {x_2} = - {3 \over 4} \Leftrightarrow {x_2} = {5 \over 4}\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:\[{x_1}{x_2} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4}\]
\[\eqalign{
& \Rightarrow 2.{5 \over 4} = {{ - {m^2} + 3m} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} - 3m - 10 = 0 \cr
& \Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.1.\left[ { - 10} \right] = 9 + 40 = 49 > 0 \cr
& \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr
& {m_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = 5 \cr
& {m_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = - 2 \cr} \]
Vậy m = 5 hoặc m = -2 thì phương trình \[4{x^2} + 3x - {m^2} + 3m = 0\]có nghiệm x1= -2 và nghiệm\[{x_2} = {5 \over 4}\]
d] Phương trình\[3{x^2} - 2\left[ {m - 3} \right]x + 5 = 0\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
\[{x_1}{x_2} = {5 \over 3} \Rightarrow {1 \over 3}{x_2} = {5 \over 3} \Leftrightarrow {x_2} = 5\]
Theo hệ thức Vi-ét ta có:\[{x_1} + {x_2} = {{2\left[ {m - 3} \right]} \over 3}\]
\[\Rightarrow {1 \over 3} + 5 = {{2\left[ {m - 3} \right]} \over 3} \Leftrightarrow 2\left[ {m - 3} \right] = 16 \Leftrightarrow m - 3 = 8 \Leftrightarrow m = 11\]
Vậy m = 11 thì phương trình \[3{x^2} - 2\left[ {m - 3} \right]x + 5 = 0\]có nghiệm \[{x_1} = {1 \over 3}\]và nghiệm \[{x_2} = 5\].
Câu 41 trang 58 Sách bài tập [SBT] Toán 9 tập 2
Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:
a] u + v = 14; uv = 40
b]\[u + v = - 7;uv = 12\]
c]\[u + v = - 5;uv = - 24\]
d]\[u + v = 4,uv = 19\]
e]\[u - v = 10,uv = 24\]
f]\[{u^2} + {v^2} = 85,uv = 18\]
Giải
a] Hai số u và v có u + v = 14, uv = 40 nên nó là nghiệm của phương trình:
\[\eqalign{
& {x^2} - 14x + 40 = 0 \cr
& \Delta ' = {\left[ { - 7} \right]^2} - 1.40 = 49 - 40 = 9 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr} \]
\[{x_1} = {{7 + 3} \over 1} = 10;{x_2} = {{7 - 3} \over 1} = 4\]
Vậy hai số: u = 10; v = 4 hoặc u = 4; v = 10
b] Hai số u và v có u + v = -7 và uv = 12 nên nó là nghiệm của phương trình\[{x^2} + 7x + 12 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {7^2} - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt 1 = 1 \cr
& {x_1} = {{ - 7 + 1} \over {2.1}} = - 3 \cr
& {x_2} = {{ - 7 - 1} \over {2.1}} = - 4 \cr} \]
Vậy hai số: u = -3; v = -4 hoặc u = -4; v = -3.
c] Hai số u và v có u + u = -5, uv = -24 nên nó là nghiệm của phương trình\[{x^2} + 5x - 24 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {5^2} - 4.1.\left[ { - 24} \right] = 25 + 96 = 121 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {121} = 11 \cr
& {x_1} = {{ - 5 + 11} \over {2.1}} = 3 \cr
& {x_2} = {{ - 5 - 11} \over {2.1}} = - 8 \cr} \]
Vậy hai số u = 3; v = -8 hoặc u = -8; v = 3
d] Hai số u và v có u + v = 4, uv = 19 nên nó là nghiệm của phương trình\[{x^2} - 4x + 19 = 0\]
\[\Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 1.19 = 4 - 19 = - 15 < 0\]
Phương trình vô nghiệm, không có giá trị nào của u và v thỏa mãn điều kiện bài toán
e] Hai số u và v có u v = 10 và uv = 24 suy ra: u + [-v] = 10 và u[-v] = -24 nên hai số u và v là nghiệm của phương trình\[{x^2} - 10x - 24 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta ' = {\left[ { - 5} \right]^2} - 1.\left[ { - 24} \right] = 25 + 24 = 49 > 0 \cr
& \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr
& {x_1} = {{5 + 7} \over 1} = 12 \cr
& {x_2} = {{5 - 7} \over 1} = - 2 \cr} \]
Hai số: u = 12; -v = -2 v = 2 hoặc u = -2; v = -12 v = -12
Vậy: u = 12; v = 2 hoặc u = -2; v = -12
f] Hai số u và v có \[{u^2} + {v^2} = 85\]và uv = 18 suy ra: \[{u^2}{v^2} = 324\]nên hai số \[{u^2}\]và \[{v^2}\]là nghiệm của phương trình\[{x^2} - 85x + 324 = 0\]
\[\eqalign{
& \Delta = {\left[ { - 85} \right]^2} - 4.1.324 = 7225 - 1296 = 5929 > 0 \cr
& \sqrt \Delta = \sqrt {5929} = 77 \cr
& {x_1} = {{85 + 77} \over {2.1}} = 81 \cr
& {x_2} = {{85 - 77} \over {2.1}} = 4 \cr} \]
Hai số: \[{u^2} = 81;{v^2} = 4\]hoặc\[{u^2} = 4;{v^2} = 81\]
u = ± 9; v = ± 2 hoặc u = ± 2; v = ± 9
Vì uv = 18 nên u và v cùng dấu ta có:
Nếu u = 9 thì v = 2 hoặc u = -9 thì v = -2
Nếu u = 2 thì v = 9 hoặc nếu u = -2 thì v = -9