Bài 4 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Với các giá trị nào của a hàm số \[y = ax - {x^3}\]nghịch biến trên \[\mathbb R\]
Giải
Tập xác định \[D=\mathbb R\]
\[y' = a - 3{x^2}\]
Nếu \[a < 0\]thì \[y' < 0\]với mọi \[x \in {\mathbb R}\], khi đó hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
Nếu \[a = 0\]thì \[y' = - 3{x^2} \le 0\]với mọi \[x \in{\mathbb R}\], \[y'=0\Leftrightarrow x=0\].
Vậy hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
Nếu \[a > 0\]thì \[y' = 0\] \[\Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\]
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên\[{\mathbb R}\]
Vậy hàm số nghịch biến trên \[{\mathbb R}\]khi và chỉ khi \[a \le 0\].
Bài 5 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Tìm các giá trị của tham số \[a\] để hàm số \[f\left[ x \right] = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\]đồng biến trên \[\mathbb R\].
Giải
Tập xác định \[D = \mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = {x^2} + 2ax + 4\];
\[\Delta = {a^2} - 4\]
Hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\]khi và chỉ khi \[f'\left[ x \right] \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
\Delta ' \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
{a^2} - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 2 \le a \le 2\]
Vậy \[- 2 \le a \le 2\] thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a] \[y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\]
b] \[y = - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\]
c] \[y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\]
d] \[y = \sqrt {2x - {x^2}} \]
e] \[y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \]
f] \[y = {1 \over {x + 1}} - 2x\]
Giải
a] TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left[ {x - 2} \right]^2} \ge 0\], \[\forall x \in \mathbb R\] dấu bằng chỉ xảy ra khi \[x=2\]
Vậy hàm số đồng biến trên \[\mathbb R\].
b] TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[y' = - 4{x^2} + 12x - 9 = - \left[ {4{x^2} - 12x + 9} \right]\]
\[= - {\left[ {2x - 3} \right]^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\] dấu bằng chỉ xảy ra khi \[x = {3 \over 2}\]. Vậy hàm số nghịch biến trên \[\mathbb R\].
c] TXĐ: \[D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\]
\[y' = {{\left[ {2x - 8} \right]\left[ {x - 5} \right] - \left[ {{x^2} - 8x + 9} \right]} \over {{{\left[ {x - 5} \right]}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left[ {x - 5} \right]}^2}}} > 0\] với mọi \[x \ne 5\]
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \[\left[ { - \infty ;5} \right]\]và \[\left[ {5; + \infty } \right]\].
d] Hàm số xác định khi và chỉ khi \[2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\]. TXĐ: \[D = \left[ {0;2} \right]\]
\[y' = {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }};y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left[ {y = 1} \right]\]
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left[ {0;1} \right]\]và nghịch biến trên khoảng \[\left[ {1;2} \right]\].
e] TXĐ: \[D = \mathbb R\][vì \[{x^2} - 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb R\]]
\[y' = {{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\];
\[y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,[y = \sqrt 2 ]\]
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ;1} \right]\]và đồng biến trên khoảng \[\left[ {1; + \infty } \right]\].
f] TXĐ: \[D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\]
\[y' = - {1 \over {{{\left[ {x + 1} \right]}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne - 1\]
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left[ { - \infty ; - 1} \right]\]và đồng biến trên khoảng \[\left[ { - 1; + \infty } \right]\].
Bài 7 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh rằng hàm số: \[f\left[ x \right] = \cos 2x - 2x + 3\]nghịch biến trên \[\mathbb R\]
Giải
TXĐ: \[D=\mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = - 2\sin 2x - 2 \le 0\]
\[\Leftrightarrow - 2\left[ {\sin 2x + 1} \right] \le 0,\forall x \in \mathbb R\]
\[f'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = - 1 \]
\[\Leftrightarrow 2x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\]
Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \[\left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ; - {\pi \over 4} + k\pi + \pi } \right]\]
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi \[\mathbb R\]