Bài 10 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Không tìm nguyên hàm hãy tính các tích phân sau:
a] \[\int\limits_{ - 2}^4 {\left[ {{x \over 2} + 3} \right]dx} ;\] \[b]\,\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx\]
c] \[\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx\]
Hướng dẫn: Áp dụng định lí 1.
Giải
a] Tích phân đó bằng diện tích hình thang ABCD với cạnh nghiêng là đường thẳng \[y = {x \over 2} + 3.\]Diện tích đó là \[\left[ {2 + 5} \right]{6 \over 2} = 21.\]vậy \[\int\limits_{ - 2}^4 {\left[ {{x \over 2} + 3} \right]dx = 21} .\]
b]
Từ hình trên ta thấy hình A gồm 2 tam giác. Do đó tích phân bằng diện tích của A và là \[{1 \over 2}.1.1 + {1 \over 2}2.2 = 0,5 + 2 = 2,5\]
Vậy \[\int\limits_{ - 1}^2 {\left| x \right|} dx = {5 \over 2}\].
c] Tích phân bằng diện tích nửa đường tròn \[{x^2} + {y^2} = 9\][hình]. Đây là đường tròn tâm là gốctọa độ bán kính là 3. Do đó diện tích nửa dường tròn là \[9{\pi \over 2} = 4,5\pi .\]
Vậy \[\int\limits_{ - 3}^3 {\sqrt {9 - {x^2}} } dx = 4,5\pi \]
Bài 11 Trang 152 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chobiết \[\int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx = - 4,} \]\[\int\limits_1^5 {f\left[ x \right]dx = 6,} \]\[\int\limits_1^5 {g\left[ x \right]} dx = 8.\]hãy tính
a] \[\int\limits_2^5 {f\left[ x \right]} \]
b] \[\int\limits_1^2 {3f\left[ x \right]} dx\]
c] \[\int\limits_1^5 {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]} dx\]
d] \[\int\limits_1^5 {\left[ {4f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]} dx \]
Giải
a] \[\int\limits_2^5 {f\left[ x \right]} \]
\[= \int\limits_2^1 {f\left[ x \right]} dx + \int\limits_1^5 {f\left[ x \right]}dx\]
\[ = - \int\limits_1^2 {f\left[ x \right]} dx + \int\limits_1^5 {f\left[ x \right]} dx = 4 + 6 = 10\]
b] \[\int\limits_1^2 {3f\left[ x \right]} dx = 3\int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx} = 3\left[ { - 4} \right] = - 12\]
c] \[\int\limits_1^5 {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]} dx \]
\[= \int\limits_1^5 {f\left[ x \right]dx} - \int\limits_1^5 {g\left[ x \right]} dx = 6 - 8 = - 2\]
d] \[\int\limits_1^5 {\left[ {4f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]} dx \]
\[= 4\int\limits_1^5 {f\left[ x \right]dx} - \int\limits_1^5 {g\left[ x \right]dx = 4.6 - 8 = 16.} \]
Bài 12 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Cho biết \[\int\limits_0^3 {f\left[ z \right]dz} = 3,\int\limits_0^4 {f\left[ x \right]} dx = 7.\]Hãy tính \[\int\limits_3^4 {f\left[ t \right]dt.} \]
Giải
Ta có \[\int\limits_3^4 {f\left[ t \right]dt = \int\limits_3^0 {f\left[ t \right]} } dt + \int\limits_0^4 {f\left[ t \right]} dt\]
\[= - \int\limits_0^3 {f\left[ t \right]} dt + \int\limits_0^4 {f\left[ t \right]} dt = - 3 + 7 = 4\]
Bài 13 Trang 153 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
a]Chứng minh rằng nếu \[f\left[ x \right] \ge 0\]trên \[\left[ {a;b} \right]\]thì \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx \ge 0.} \]
b] Chứng minh rằng nếu \[f\left[ x \right] \ge g\left[ x \right]\]trên \[\left[ {a;b} \right]\]thì \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \ge \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} .\]
Giải
a] Ta có \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx} \]là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left[ x \right]\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = a,x = b,\]do đó \[\int\limits_a^b {f\left[ x \right]dx \ge 0.} \]
b] Đặt \[h\left[ x \right] = f\left[ x \right] - g\left[ x \right] \ge 0\]với mọi \[x \in \left[ {a;b} \right].\]
Theo a] ta có: \[\int\limits_a^b {\left[ {f\left[ x \right] - g\left[ x \right]} \right]} \ge 0 \Rightarrow \int\limits_a^b {f\left[ x \right]} dx - \int\limits_a^b {g\left[ x \right]dx} \ge 0\]
\[\Rightarrow \int\limits_a^b {f\left[ x \right]} dx \ge \int\limits_a^b {g\left[ x \right]} dx.\]