Bài 1 trang 162 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = 7 + x - x^2\] tại \[x_0= 1\];
b] \[y = x^3- 2x + 1\] tại \[x_0= 2\].
Giải:
a] Giả sử \[x\] là số gia của đối số tại \[x_0=1\]. Ta có:
\[y = f[1 +x] - f[1] = 7 + [1 +x] - [1 + x]^2\]
\[- [7 + 1 - 1^2]= -[x]^2-x\] ;
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = -x - 1\] ;\[\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\]\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\] =\[ \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} [-x - 1] = -1\].
Vậy \[f'[1] = -1\].
b] Giả sử \[x\] là số gia của số đối tại \[x_0=2\]. Ta có:
\[y = f[2 +x] - f[2] = [2 + x]^3-2[2 +x] + 1 \]\[- [2^3- 2.2 + 1] = [x]^3+ 6[x]^2+ 10x\];
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x} = [x]^2+ 6x + 10\];
\[\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\]\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}\]= \[ \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}[[x]^2+ 6x+ 10] = 10\].
Vậy \[f'[2] = 10\].
Bài 2 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = x^5- 4 x^3+ 2x - 3\];
b] \[y = \frac{1}{4} - \frac{1}{3}x + x^2- 0,5x^4\];
c] \[y = \frac{x^{4}}{2}\]-\[ \frac{2x^{3}}{3}\]+\[ \frac{4x^{2}}{5} - 1\] ;
d] \[y = 3x^5[8 - 3x^2]\].
Lời giải:
a] \[y' = 5x^4- 12x^2+ 2\].
b] \[y' = - \frac{1}{3} + 2x - 2x^3\]
c] \[y' = 2x^3- 2x^2+ \frac{8x}{5}\].
d] \[y = 24x^5- 9x^7=> y' = 120x^4- 63x^6\].
Bài 3 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = {[{x^{7}} - 5{x^2}]^3}\];
b]\[y = [{x^2} + 1][5 - 3{x^2}]\];
c] \[y = \frac{2x}{x^{2}-1}\];
d] \[y = \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\];
e] \[y = \left [ m+\frac{n}{x^{2}} \right ]^{3}\][\[m, n\] là các hằng số].
Lời giải:
a] \[y' = 3.{[{x^7} - 5{x^2}]^2}.[{x^7} - 5{x^2}]' = 3.{[{x^{7}} - 5{x^2}]^2}.[7{x^6} - 10x]\]
\[= 3x.{[{x^{7}} - 5{x^2}]^2}[7{x^5} - 10].\]
b] \[y = 5{x^2} - 3{x^4} + 5 - 3{x^2} = - 3{x^4} + 2{x^2} + 5\], do đó \[y' = - 12{x^3} + 4x = - 4x.[3{x^2} - 1]\].
c] \[y' = \frac{\left [ 2x \right ]'.\left [ x^{2}-1 \right ]-2x\left [ x^{2}-1 \right ]'}{\left [ x^{2}-1 \right ]^{2}}\]=\[ \frac{2.\left [ x^{2}-1 \right ]-2x.2x}{\left [ x^{2}-1 \right ]^{2}}\]=\[ \frac{-2\left [ x^{2}+1 \right ]}{\left [ x^{2}-1 \right ]^{2}}\].
d] \[y' = \frac{\left [ 3-5x \right ]'\left [ x^{2}-x+1 \right ]-\left [ 3-5x \right ].\left [ x^{2}-x+1 \right ]'}{\left [ x^{2}-x+1 \right ]^{2}}\]=\[ \frac{-5\left [ x^{2}-x+1 \right ]-\left [ 3-5x \right ].\left [ 2x-1 \right ]}{\left [ x^{2}-x+1 \right ]^{2}}\]=\[ \frac{5x^{2}-6x-2}{\left [ x^{2}-x+1 \right ]^{2}}\].
e] \[y' = 3. \left [ m+\frac{n}{x^{2}} \right ]^{2}\].\[ \left [ m+\frac{n}{x^{2}} \right ]'\]= 3.\[ \left [ m+\frac{n}{x^{2}} \right ]^{2}\]\[ \left [ -\frac{2n}{x^{3}} \right ]\]= -\[ \frac{6n}{x^{3}}\].\[ \left [ m+\frac{n}{x^{2}} \right ]^{2}\].
Bài 4 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a] \[y = x^2- x\sqrt x+ 1\];
b] \[y = \sqrt {[2 - 5x - x^2]}\];
c] \[y = \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\][ \[a\] là hằng số];
d] \[y = \frac{1+x}{\sqrt{1-x}}\].
Lời giải:
a] \[y' = 2x - \left [ \sqrt{x}+x.\frac{1}{2\sqrt{x}} \right ]\] \[= 2x - \frac{3}{2}\sqrt{x}\].
b] \[y' =\frac{\left [ 2-5x-x^{2} \right ]'}{2.\sqrt{2-5x-x^{2}}}\]=\[ \frac{-5-2x}{2\sqrt{2-5x-x^{2}}}\].
c] \[y' = \frac{\left [ x^{3} \right ]'.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\left [ \sqrt{a^{2}-x^{2}} \right ]}{a^{2}-x^{2}}\]=\[ \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}-x^{3}.\frac{-2x}{2\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}\]=\[ \frac{3x^{2}.\sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{x^{4}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}}{a^{2}-x^{2}}\]=\[ \frac{x^{2}\left [ 3a^{2}-2x^{2} \right ]}{\left [ a^{2} -x^{2}\right ]\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\].
d] \[y' = \frac{\left [ 1+x \right ]'.\sqrt{1-x}-\left [ 1+x \right ].\left [ \sqrt{1-x} \right ]'}{1-x}\]=\[ \frac{\sqrt{1-x}-\left [ 1+x \right ]\frac{-1}{2\sqrt{1-x}}}{1-x}\]=\[ \frac{2\left [ 1-x \right ]+1+x}{2\left [ 1-x \right ]\sqrt{1-x}}\]=\[ \frac{3-x}{2\left [ 1-x \right ]\sqrt{1-x}}\].
Bài 5 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Cho \[y = x^3-3x^2+ 2\]. Tìm \[x\] để :
a] \[y' > 0\]
b] \[y' < 3\]
Lời giải:
\[y' = 3x^2- 6x\].
a] \[y' > 0 \Leftrightarrow 3x^2- 6x >0 \Leftrightarrow3x[x - 2] > 0\]
\[\Leftrightarrowx>2\] hoặc \[x