Bài 4 trang 113- SGK Toán Giải tích 12
Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:
a]\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[x+1]sinxdx\] ; b]\[\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\]
c]\[\int_{0}^{1}ln[1+x]]dx\] ; d]\[\int_{0}^{1}[x^{2}-2x+1]e^{-x}dx\]
Giải
a] Đặt \[u=x+1\]; \[dv=sinxdx\] \[\Rightarrow du = dx ;v = -cosx\]. Khi đó:
\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[x+1]sinxdx=-[x+1]cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\]
\[=1 +sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\]
b]\[\frac{1}{9}[2e^{3}+1]\]. HD: Đặt u = ln x ,dv =x2dx
c] Đặt
\[\eqalign{
& u = \ln x \Rightarrow du = {1 \over x}dx \cr
& dv = {x^2}dx \Rightarrow v = {{{x^3}} \over 3} \cr} \]
Do đó ta có:
\[\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = {{{x^3}} \over 3}.lnx\left| {_1^e - \int\limits_1^e {{{{x^3}} \over 3}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left[ {{{{x^3}} \over 9}} \right]} \left| {_1^e} \right.} \right.}\]\[ = {{{e^3}} \over 3} - {{{e^3} - 1} \over 9} = {{2{e^3} + 1} \over 9}\]
d] Ta có :
\[\int_{0}^{1}[x^{2}-2x-1]e^{x}dx= \int_{0}^{1}[x^{2}-1]e^{-x}dx\]\[-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\]
Đặt \[u= {x^2} - 1\]; \[dv{\rm{ }} = {\rm{ }}{e^{ - x}}dx\]\[\Rightarrow du = 2xdx ;v = -e^{-x}\]Khi đó:
\[\int_{0}^{1}[x^{2}-1]e^{-x}=-e^{-x}[x^{2}-1]|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\]
\[=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\]
Vậy :\[\int_{0}^{1}[x^{2}-2x+1]e^{-x}dx\]=\[=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\]= -1
Bài 5 trang 113 - SGK Giải tích 12
Tính các tích phân sau:
a]\[\int_{0}^{1}[1+3x]^{\frac{3}{2}}dx\] ; b]\[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\]
c]\[\int_{1}^{2}\frac{ln[1+x]}{x^{2}}dx\]
Giải
a]\[\int_{0}^{1}[1+3x]^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}[1+3x]^{\frac{3}{2}}d[1+3x]\]
\[=\frac{1}{3}\frac{2}{5}[1+3x]^{\frac{5}{2}}|_{0}^{1}=4\tfrac{2}{15}\]
b]\[\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{[x-1][x^{2}+x+1]}{[x-1][x+1]}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x[x+1]+1}{x+1}dx\]
\[=\int_{0}^{\frac{1}{2}}[x+\frac{1}{x+1}]dx=[\frac{x^{2}}{2}+ln\left | x+1 \right |]|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}+ln\frac{3}{2}\]
Bài 6 trang 113 - SGK Giải tích 12
Tính tích phân \[\int_{0}^{1}x[1-x]^{5}dx\]bằng hai phương pháp:
a] Đổi biến số : \[u = 1 - x\];
b] Tính tích phân từng phần.
Giải
a] Đặt \[u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\].
Khi \[x = 0\] thì \[u = 1\], khi \[x = 1\] thì \[u = 0\]. Khi đó:
\[\int_{0}^{1}x[1-x]^{5}dx=\int_{0}^{1}[1-u]u^{5}du=[\frac{1}{6}u^{6}-\frac{1}{7}u^{7}]|_{0}^{1}\]\[=\frac{1}{42}.\]
b] Đặt \[u = x\]; \[dv = [1 x]^5dx\]
\[\Rightarrow du = dx\];\[v=-\frac{[1+x]^{6}}{6}\]. Khi đó:
\[\int_{0}^{1}x[1-x]^{5}dx=-\frac{x[1-x]^{6}}{6}|_{0}^{1}+\frac{1}{6}\int_{0}^{1}[1-x]^{6}dx\]
\[=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}[1-x]^{6}d[1-x]=-\frac{1}{42}[1-x]^{7}|_{0}^{1}=\frac{1}{42}\].