Bài 4 trang 25 sgk hình học 12
Cho hình chóp \[S.ABC\]. Trên các đoạn thẳng \[SA, SB, SC\] lần lượt lấy ba điểm \[A, B, C\] khác với \[S\]. Chứng minh rằng
\[{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\]
Giải
Gọi \[h\] và \[h\] lần lượt là chiều cao hạ từ \[A, A\] đến mặt phẳng \[[SBC]\].
Gọi \[S_1\]và \[S_2\]theo thứ tự là diện tích các tam giác \[SBC\] và \[SBC\].
Khi đó ta có \[{{h'} \over h} = {{SA'} \over {SA}}\]
và \[{{{1 \over 2}sin[B'SC'].SB'.SC'} \over {{1 \over 2}sin[BSC].SB.SC}} = {{SB'} \over {SB}}.{{SC'} \over {SC}}\]
Suy ra \[{{{V_{S.A'B'C'}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A'.SB'C'}}} \over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 \over 3}h'{S_2}} \over {{1 \over 3}h{S_1}}} = {{SA'} \over {SA}} \cdot {{SB'} \over {SB}} \cdot {{SC'} \over {SC}}\]
Đó là điều phải chứng minh.
Bài 5 trang 26 sgk hình học 12
Cho tam giác \[ABC\] vuông cân ở \[A\] và \[AB = a\]. Trên đường thẳng qua \[C\] và vuông góc với mặt phẳng \[[ABC]\] lấy điểm \[D\] sao cho \[CD = a\]. Mặt phẳng qua \[C\] vuông góc với \[SD\], cắt \[BD\] tại \[F\] và cắt \[AD\] tại \[E\]. Tính thể tích khối tứ diện \[CDEF\] theo \[a\].
Giải:
\[\left.\begin{matrix} BA \perp CD& \\ BA \perp CA& \end{matrix}\right\}\]\[ \Rightarrow BA\bot [ADC]\] \[\Rightarrow BA \bot CE\]
Mặt khác \[BD \bot [CEF] \Rightarrow BD \bot CE\].
Từ đó suy ra
\[CE \bot [ABD] \RightarrowCE EF, CE \bot AD\].
Vì tam giác \[ACD\] vuông cân, \[AC= CD= a\] nên\[CE=\frac{AD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\]
Ta có \[BC = a\sqrt{2}\],\[BD = \sqrt{2a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{3}\]
Để ý rằng\[CF\cdot BD = DC\cdot BC\]nên\[CF=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}\]
Từ đó suy ra
\[EF= \sqrt{CF^{2}-CE^{2}}=\sqrt{\frac{2}{3}a^{2}-\frac{a^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{6}a\].
\[DF=\sqrt{DC^{2}-CF^{2}}=\sqrt{a^{2}-\frac{2}{3}a^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\].
Từ đó suy ra\[S_{\Delta CEF}=\frac{1}{2}FE\cdot EC=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{6}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\]
Vậy\[V_{D.CEF}=\frac{1}{3}S_{\Delta CEF}\cdot DF=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^{2}\sqrt{3}}{12}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^{3}}{36}.\]
Bài6 trang 26 sgk hình học 12
Cho hai đường thẳng chéo nhau \[d\] và \[d\]. Đoạn thằng \[AB\] có độ dài \[a\] trượt trên \[d\], đoạn thẳng \[CD\] có độ dài \[b\] trượt trên \[d\]. Chứng minh rằng khối tứ diện \[ABCD\] có thể tích không đổi.
Giải:
Gọi \[h\] là độ dài đường vuông góc chung của \[d\] và \[d\], \[α\] là góc giữa hai đường thẳng \[d\] và \[d\]. Qua \[B, A, C\] dựng hình bình hành \[BACF\]. Qua \[A,C, D\] dựng hình bình hành \[ACDE\].
Khi đó \[CFD.ABE\] là một hình lăng trụ tam giác. Ta có:
\[V_{DABC}=V_{DFCB}=V_{BCDF}\]
=\[\frac{1}{3}\]\[V_{CFD.ABE}\]
=\[\frac{1}{3}h\]\[S_{FCD}\]=\[\frac{1}{3}h.\] \[\frac{1}{2}ab. sinα\]
=\[\frac{1}{6}.h. ab. sinα\][là một số không đổi].