Bài 4 trang 56 sgk giải tích 12
Cho \[a, b\] là những số thực dương. Rút gọn các biểu thức sau:
a] \[{{{a^{{4 \over 3}}}\left[ {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right]} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left[ {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right]}}\];
b] \[{{{b^{{1 \over 5}}}\left[ {\root 5 \of {{b^4}} - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right]} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left[ {\root 3 \of b - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right]}};\]
c] \[{{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {{b^2}} }}\];
d] \[{{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\]
Giải
a]\[{{{a^{{4 \over 3}}}\left[ {{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{2 \over 3}}}} \right]} \over {{a^{{1 \over 4}}}\left[ {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{{ - 1} \over 4}}}} \right]}}\] \[= {{{a^{{4 \over 3}}}{a^{{{ - 1} \over 3}}} + {a^{{4 \over 3}}}{a^{{2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4}}}{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4}}}{a^{{{ - 1} \over 4}}}}}\]
\[ = {{{a^{{4 \over 3} - {1 \over 3}}} + {a^{{4 \over 3} + {2 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 4} + {3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 4} + {{ - 1} \over 4}}}}} = {{{a^1} + {a^2}} \over {{a^1} + {a^0}}} = {{a\left[ {1 + a} \right]} \over {a + 1}} = a\]
b] \[{{{b^{{1 \over 5}}}\left[ {\root 5 \of {{b^4}} - \root 5 \of {{b^{ - 1}}} } \right]} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left[ {\root 3 \of b - \root 3 \of {{b^{ - 2}}} } \right]}} = {{{b^{{1 \over 5}}}\left[ {{b^{{4 \over 5}}} - {b^{{{ - 1} \over 5}}}} \right]} \over {{b^{{2 \over 3}}}\left[ {{b^{{1 \over 3}}} - {b^{{{ - 2} \over 3}}}} \right]}}\]
\[= {{{b^{{1 \over 5} - {4 \over 5}}} - {b^{{1 \over 5} - {1 \over 5}}}} \over {{b^{{2 \over 3} + {1 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3} - {2 \over 3}}}}} = {{b - 1} \over {b - 1}} = 1\][ Với điều kiện b 1]
c]\[{{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} - {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}} \over {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {{b^2}} }}\]\[= {{{a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}}\left[ {{a^{{2 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3}}}} \right]} \over {{a^{{2 \over 3}}} - {b^{{2 \over 3}}}}}\]
\[ = {a^{{{ - 1} \over 3}}}{b^{{{ - 1} \over 3}}} = {1 \over {{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}}}} = {1 \over {\root 3 \of {ab} }}\][ với điều kiện a b].
d]\[{{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\]\[= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\]
\[= {{{a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 2}}} + {b^{{1 \over 3}}}{a^{{1 \over 2}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{3 \over 6}}} + {b^{{2 \over 6}}}{a^{{3 \over 6}}}} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}}\]
\[= {{{a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}}\left[ {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}} \right]} \over {{a^{{1 \over 6}}} + {b^{{1 \over 6}}}}} = {a^{{2 \over 6}}}{b^{{2 \over 6}}} = {a^{{1 \over 3}}}{b^{{1 \over 3}}} = \root 3 \of {ab} .\]
Bài 5 trang 56 sgk giải tích 12
Chứng minh rằng:
a]\[\left [ \frac{1}{3} \right ]^{2\sqrt{5}}\]\[7^{\sqrt[3]{6}}\].
Giải
Các em học sinh nên sử dụng các tính chất của lũy thừa dể giải bài toán này
a] ta có \[2\sqrt5\]=\[\sqrt{2^{2}.5}= \sqrt{20}\] ; \[3\sqrt2\] =\[\sqrt{3^{2}.2}\]= \[\sqrt {18}=>2\sqrt5>3\sqrt2\]
=> \[\left [ \frac{1}{3} \right ]^{2\sqrt{5}}\]6\sqrt3>3\sqrt6 => \] \[7^{\sqrt[6]{3}}\]>\[7^{\sqrt[3]{6}}\]