Bài 1 trang 138 sgk giải tích 12
Thực hiện các phép chia sau:
a]\[ \frac{2+i}{3-2i}\]; b] \[ \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\]; c]\[ \frac{5i}{2-3i}\]; d]\[ \frac{5-2i}{i}\].
Giải
a]\[ \frac{2+i}{3-2i}\]\[ =\frac{[2+i][3+2i]}{13}=\frac{4}{13}+\frac{7}{13}i\].
b]\[ \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\]\[ =\frac{[1+i\sqrt{2}][2-i\sqrt{3}]}{7}=\frac{2+\sqrt{6}}{7}+\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{7}i\]
c]\[ \frac{5i}{2-3i}\]\[ =\frac{5i[2+3i]}{13}=-\frac{15}{13}+\frac{10}{13}i\]
d]\[ \frac{5-2i}{i}= [5 - 2i][-i] = -2 - 5i\].
Bài 2 trang 138 sgk giải tích 12
Tìm nghịch đảo \[ \frac{1}{z}\]của số phức \[z\], biết:
a] \[z = 1 + 2i\]; b] \[z = \sqrt2 - 3i\];
c] \[z = i\]; d] \[z = 5 + i\sqrt3\].
Giải
a]\[ \frac{1}{1+2i}=\frac{1-2i}{5}=\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.\]
b]\[ \frac{1}{\sqrt{2}-3i}=\frac{\sqrt{2}+3i}{[\sqrt{2}]^{2}+[-3]^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{11}+\frac{3}{11}i\]
c]\[ \frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i\]
Bài 3 trang 138 sgk giải tích 12
Thực hiện các phép tính sau:
a] \[2i[3 + i][2 + 4i]\]; b] \[ \frac{[1+i]^{2}[2i]^{3}}{-2+i}\]
c] \[3 + 2i + [6 + i][5 + i]\]; d] \[4 - 3i + \frac{5+4i}{3+6i}\].
Giải
a] \[2i[3 + i][2 + 4i] = 2i[2 + 14i] = -28 + 4i\]
b] \[ \frac{[1+i]^{2}[2i]^{3}}{-2+i}\]\[ =\frac{2i[-8i]}{-2+i}=\frac{16[-2-i]}{5}=-\frac{32}{5}-\frac{16}{5}i\]
c] \[3 + 2i + [6 + i][5 + i] = 3 + 2i + 29 + 11i = 32 + 13i\]
d] \[ 4 - 3i + \frac{5+4i}{3+6i}\]= \[4 - 3i + \frac{[5+4i][3-6i]}{45}\]= \[4 - 3i + \frac{39}{45}-\frac{18}{45}i\]
\[= [4 + \frac{39}{45}\]] \[- [3 + \frac{18}{45}\]]i =\[ \frac{219}{45}-\frac{153}{45}i\]
Bài 4 trang 138 sgk giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[[3 - 2i]z + [4 + 5i] = 7 + 3i\];
b] \[[1 + 3i]z - [2 + 5i] = [2 + i]z\];
c]\[ \frac{z}{4-3i} + [2 - 3i] = 5 - 2i\].
Giải
a] Ta có \[[3 - 2i]z + [4 + 5i] = 7 + 3i \Leftrightarrow [3 - 2i]z = 7 + 3i - 4 - 5i\]
\[\Leftrightarrowz = \frac{3-2i}{3-2i} \Leftrightarrowz = 1\]. Vậy \[z = 1\].
b] Ta có \[[1 + 3i]z - [2 + 5i] = [2 + i]z \Leftrightarrow[1 + 3i]z -[2 + i]z = [2 + 5i]\]
\[\Leftrightarrow [1 + 3i - 2 - i]z = 2 + 5i \Leftrightarrow[-1 + 2i]z = 2 + 5i\]
\[\Leftrightarrow z = \frac{2 + 5i}{-1+2i}=\frac{[2+5i][-1-2i]}{5}=\frac{-2-4i-5i-10i^{2}}{5}=\frac{8-9i}{5}=\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i\]
Vậy \[z =\frac{8}{5}-\frac{9}{5}i\]
c] Ta có\[ \frac{z}{4-3i} + [2 - 3i] = 5 - 2i \Leftrightarrow\]\[ \frac{z}{4-3i}= 5 - 2i - 2 + 3i\]
\[\Leftrightarrow z = [3 + i][4 - 3i]\Leftrightarrow z = 12 + 3 + [-9 + 4]i \Leftrightarrowz = 15 -5i\]