Bài 4 trang 78 sgk giải tích 12
Vẽ đồ thị của các hàm số:
a] \[y = logx\];
b] y =\[log_{\frac{1}{2}}x\].
Giải
a] Đồ thị hàm số \[y = logx\] [cơ số 10]
Tập xác định: \[D=[0;+\infty]\]
* Sự biến thiên:
\[y' = {1 \over {x\ln 10}} > 0,\forall x \in D\]
- Hàm số đồng biến trên khoảng \[[0;+\infty]\]
- Giới hạn đặc biệt:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = - \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \cr} \]
Hàm số có tiệm cận đứng là: \[x=0\]
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung] nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm \[[1;0]\] và đi qua điểm \[[10;1]\], \[[\frac{1}{10}; -1]\].
b] Đồ thị hàm sốy =\[log_{\frac{1}{2}}x\][ cơ số nhỏ hơn 1]
Tập xác định: \[D=[0;+\infty]\]
* Sự biến thiên:
\[y' = - {1 \over {x\ln 2}} < 0,\forall x \in D\]
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \[[0;+\infty]\]
- Giới hạn:
\[\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \cr} \]
Hàm số có tiệm cận đứng \[x=0\].
- Bảng biến thiên:
* Đồ thị:
Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung [nhận trục tung làm tiệm cận đứng], cắt trục hoành tại điểm \[[1;0]\] và đi qua điêm \[[\frac{1}{2};1]\], điểm phụ \[[2;-1]\], \[[4.-2]\], \[[\frac{1}{4}; 2]\].
Bài 5 trang 78 sgk giải tích 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a] \[y =3{x^2}-lnx + 4sinx\];
b] \[y = log[{x^2} + x+1]\];
c] \[y= \frac{log_{3}x}{x}\].
Giải:
Ta sử dụng các công thức\[\left [ lnx \right ]^{'}= \frac{1}{x}\] ;\[\left [ log_{a}u\right ]^{'}= \frac{u^{'}}{u. lna}\]; \[[sinx] = cosx\] và các quy tắc tính đạo hàm của một thương để tính đạo hàm các hàm số đã cho.
a] \[y' = 6x - {1 \over x} + 4cosx\].
b] \[y'= \frac{\left [ x^{2}+x+ 1 \right ]^{'}}{\left [ x^{2}+ x+ 1 \right ].ln10}\]=\[\frac{2x+ 1}{\left [ x^{2}+ x+ 1 \right ].ln10}\].
c] \[y'= \frac{\left [ log_{3}x^{} \right ]^{'}.x- log_{3}x.1}{x^{2}}\]=\[\frac{\frac{1}{x. ln3}.x-log_{3}x}{x^{2}}\]=\[\frac{1-ln3.log_{3}x}{x^{2}.ln3}\]=\[\frac{1-lnx}{x^{2}. ln3}\].