Câu 41* trang 162 Sách bài tập [SBT] Toán 9 Tập 1
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a] CE = CF;
b] AC là tia phân giác của góc BAE;
c] \[C{H^2} = AE.BF\].
Giải:
a] Ta có: OC d [ tính chất tiếp tuyến]
AE d [gt]
BF d [gt]
Suy ra: OC // AE // BF
Mà OA = OB [=R]
Suy ra: CE = CF [tính chất đường thẳng song cách đều]
b] Ta có: AE // OC
Suy ra: \[\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\] [ hai góc sole trong] [1]
Ta có: OA = OC [=R]
Suy ra: OAC cân tại O \[ \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\]
Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE.
c] Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn [O] có AB là đường kính nên \[\widehat {ACB} = 90^\circ \]
Tam giác ABC vuông tại C có CH AB.
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\[C{H^2} = HA.HB\] [3]
Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có:
\[\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \]
CH = CE [tính chất đường phân giác]
AC chung
Suy ra: ACH = ACE [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra: AH = AE [4]
Xét hai tam giác BCH và BEF, ta có:
\[\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \]
CH = CF [= CE]
BC chung
Suy ra: BCH = BCF [cạnh huyền, cạnh góc vuông]
Suy ra: BH = BF [5]
Từ [3], [4] và [5] suy ra: \[C{H^2} = AE.BF\]
Câu 4.1 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 9 Tập 1
Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn [O] đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên
[A] Đường vuông góc với AB tại A ;
[B] Đường vuông góc với AB tại B ;
[C] Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 1cm ;
[D] Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 2cm.
Hãy chọn phương án đúng.
Giải:
Chọn [C].
Câu 4.2 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 9 Tập 1
Cho đường tròn [O ; 2cm], điểm A di chuyển trên đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A, lấy điểm M sao cho AM = OA. Điểm M chuyển động trên đường nào ?
Giải:
\[OM = 2\sqrt 2 \].
Điểm M chuyển động trên đường tròn \[[O ; 2\sqrt 2 cm].\]
Câu 4.3 trang 163 Sách bài tập [SBT] Toán lớp 9 Tập 1
Cho đường tròn [O ; 15cm], dây AB = 24cm. Một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài EF.
Giải:
Gọi C là tiếp điểm của EF với đường
tròn [O], H là giao điểm của OC và AB. Ta có
OC ^ EF và AB // EF nên OC ^ AB.
Ta tính được HB = 12 cm nên OH = 9 cm.
OAB đồng dạng với OEF nên \[{{OH} \over {OC}} = {{AB} \over {EF}}\] ,
tức là \[{9 \over {15}} = {{24} \over {EF}}\].
Ta tính được EF = 40 cm.