Câu 4.1 trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Lấy ba điểm bất kỳ A, B, C trên đường tròn [O]. Điểm E bất kỳ thuôc đoạn thẳng AB[và không trùng với A, B]. Đường thẳng d đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng OA cắt đoạn thẳng AC tại điểm F. Chứng minh \[\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^0}\].
Giải
Kẻ tiếp tuyến At của đường tròn [O]
At \[ \bot OA\] [tính chất tiếp tuyến]
\[EF \bot OA\] [gt]
Suy ra: At // EF
\[\widehat {EFA} = \widehat {CAt}\] [so le trong]
\[\widehat {CBA} = \widehat {CAt}\] [hệ quả góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung]
Suy ra: \[\widehat {EFA} = \widehat {CBA}\] hay \[\widehat {EFA} = \widehat {CBE}\]
\[\widehat {EFA} + \widehat {EFC} = {180^0}\] [hai góc kề bù]
\[\overparen{CBE}\] + \[\overparen{EFC}\] = 1800 [1]
Trong tứ giác BCFE ta có:
\[\overparen{BCF}\] + \[\overparen{BEF}\] + \[\overparen{CBE}\] + \[\overparen{CFE}\] = 3600[tổng các góc trong tứ giác] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\widehat {BCF} + \widehat {BEF} = {180^0}\]
Câu 4.2 trang 104 Sách Bài Tập [SBT] Toán 9 Tập 2
Cho tam giác ABC vuông ở A, AH và AM tương ứng là đường cao và đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác đó. Qua điểm A kẻ đường thẳng mn vuông góc với AM. Chứng minh: AB và AC tương ứng là tia phân giác của các góc tạo bở AH và hai tia Am, An của đường thẳng mn.
Giải
ABCvuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
\[ \Rightarrow AM = MB = MC = {1 \over 2}BC\] [tính chất tam giác vuông]
\[ \Rightarrow \] AMB cân tại M
\[ \Rightarrow \widehat B = \widehat {BAM}\] [1]
\[mn \bot AM\] [gt]
\[ \Rightarrow \widehat {mAM} + \widehat {BAM} = {90^0}\] [2]
AHB vuông tại H
\[ \Rightarrow \widehat B + \widehat {BAH} = {90^0}\] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {mAB} = \widehat {BAH}\]. Vậy AB là tia phân giác của \[\widehat {mAH}\].
AMC cân tại M \[ \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat C\] [4]
\[mn \bot AM\] [gt] \[ \Rightarrow \widehat {MAC} + \widehat {nAC} = {90^0}\] [5]
AHC vuông tại H \[ \Rightarrow \widehat {HAC} + \widehat C = {90^0}\] [6]
Từ [4], [5] và [6] suy ra: \[\widehat {HAC} = \widehat {nAC}\]. Vậy AC là tia phân giác của \[\widehat {HAn}\]