Bài 45 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các hệ phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
x - y = 2 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 164 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra \[y = x 2\]
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
\[\eqalign{
& {x^2} + {[x - 2]^2} = 164 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 4 = 164 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 80 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = - 8 \hfill \cr} \right. \cr} \]
Với \[x = 10 y = 8\]
Với \[x = -8 y = -10\]
b] Thay \[y = 1 2x\] vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
\[\eqalign{
& {x^2} - 5x[1 - 2x] + {[1 - 2x]^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \]
Với \[x = 1 y = -1\]
Với \[x = - {2 \over 3} \Rightarrow y = {9 \over 5}\]
Bài 46 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các hệ phương trình
a]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\]
b]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr
xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
c]
\[\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
{y^2} - 3y = 2x \hfill \cr} \right.\]
Giải
a] Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr
{S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} - 2[5 - S] + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 - S \hfill \cr
{S^2} - 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \]
i] Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:
\[{x^2} - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\]
Ta có nghiệm [1, 2]; [2, 1]
ii] Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:
S2 4P = 36 44 = -8 < 0
Vậy phương trình có hai nghiệm [1, 2]; [2, 1]
b] Đặt x = -x, ta có hệ:
\[\left\{ \matrix{
x{'^2} + {y^2} + x' + y = 2 \hfill \cr
- x'y - x' - y = - 1 \hfill \cr} \right.\]
Đặt S = x + y; P = xy, ta có:
\[\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} - 2P + S = 2 \hfill \cr
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S - 2[1 - S] = 2 \hfill \cr
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S - 4 = 0 \hfill \cr
P = 1 - S \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = - 4 \hfill \cr
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \]
+] Nếu S =1, P = 0 thì x, y là nghiệm phương trình:
\[{X^2} - X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x' = 0 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x' = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Ta có nghiệm [0, 1] và [-1, 0]
+] Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 4P < 0
c] Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
x2 y2 3x + 3y = 2y 2x
[x y][x + y] [x y] = 0
[x y][x + y 1] = 0
x y = 0 hoặc x + y 1 = 0
Vậy hệ đã cho tương ứng với:
\[\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x - y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[I] \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x + y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[II] \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[[I]\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2y \hfill \cr
x - y = 0 \hfill \cr} \right. \]
\[\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x[x - 5] = 0 \hfill \cr
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\]
\[[II] \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x = 2[1 - x] \hfill \cr
y = 1 - x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - x - 2 = 0 \hfill \cr
y = 1 - x \hfill \cr} \right.\]
\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = - 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\]
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \[[0, 0]; [5, 5]; [-1, 2]; [2, -1]\]
Bài 47 trang 100 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm :
\[\left\{ \matrix{
x + y = S \hfill \cr
xy = P \hfill \cr} \right.\]
[S và P là hai số cho trước]
Giải
\[x, y\] là nghiệm của phương trình: \[X^2 SX + P = 0 \;\;[1]\]
[1] có nghiệm \[ Δ = S^2 4P 0\]