Câu 46 trang 143 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB và bằng AB [D khác phía C đối với AB], vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC và bằng AC [E khác phía B đối với AC]
Chứng minh rằng:
a] DC = BE
b] \[{\rm{D}}C \bot BE\]
Giải
a] Xét ABE và ACD, ta có:
AB = AD [gt]
AE = AC [gt]
\[\eqalign{
& \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \widehat {CA{\rm{D}}} = \widehat {BAC} + 90^\circ \cr
& \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {CA{\rm{D}}} \cr} \]
Suy ra: ABE = ADC [c.g.c]
DC = BE [2 cạnh tương ứng]
b] Gọi giao điểm DC và AB là H, giao điểm của CD và BE là K
Ta có: ABE = ADC [chứng minh trên]
\[\widehat {ABE} = \widehat D\] [1]
Trong tam giác vuông AHD, ta có: \[\widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat D + \widehat {AH{\rm{D}}} = 90^\circ \][tính chất tam giác vuông] [2]
Mà: \[\widehat {AH{\rm{D}}} = \widehat {KHB}\][đối đỉnh] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {ABE} + \widehat {KHB} = 90^\circ \]
Trong KHB, ta có:
\[\widehat {KHB} + \widehat {ABE} + \widehat {BKH} = 180^\circ \][tổng 3 góc trong tam giác]
\[ \Rightarrow \widehat {BKH} = 180^\circ - \left[ {\widehat {ABE} + \widehat {BKH}} \right] = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]
Vậy \[DC \bot BE\].
Câu 47 trang 143 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC có \[\widehat B = 2\widehat C\]. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Trên tia đối của tia BD lấy điểm E sao cho BE = AC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AB. Chứng minh rằng AE = AK
Giải
Ta có: \[\widehat B = 2\widehat {{C_1}}\left[ {gt} \right] \Rightarrow \widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat B\]
Lại có \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\][vì BD là tia phân giác]
=> \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{B_1}}\] [1]
\[\widehat {{C_1}} + \widehat {{C_2}} = 180^\circ \][kề bù] [2]
\[\widehat {{B_1}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \][kề bù] [3]
Từ [1], [2] và [3] suy ra: \[\widehat {{C_2}} = \widehat {{B_3}}\]
Xét ABE và ACK, ta có:
AB = KC [gt]
\[\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_2}}\][chứng minh trên]
BE = CA [gt]
Suy ra: ABE = KCA [c.g.c]
Vậy: AE = AK [2 cạnh tương ứng]
Câu 48 trang 143 Sách Bài Tập [SBT] Toán lớp 7 tập 1
Cho tam giác ABC, K là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN.
Giải
Xét AKM và BKC, có:
AK = BK [gt]
\[\widehat {AKM} = \widehat {BKC}\][đối đỉnh]
KM = KC [gt]
Suy ra: AKM = BKC[c.g.c]
\[ \Rightarrow \]AM = BC [2 cạnh tương ứng]
\[\widehat {AMK} = \widehat {BCK}\][2 góc tương ứng]
Suy ra: AM // BC [vì có cặp góc so le trong bằng nhau]
Xét AEN và CEB, ta có:
AE = CE [gt]
\[\widehat {A{\rm{E}}N} = \widehat {CEB}\][đối đỉnh]
EN = EB[gt]
Suy ra: AEN = CEB[c.g.c]
=>AN = BC [2 cạnh tương ứng]
\[\widehat {E{\rm{A}}N} = \widehat {ECB}\][2 góc tương ứng]
Suy ra: AN // BC [vì có cặp góc so le trong bằng nhau]
Ta có: AM //BC và AN // BC nên hai đường thẳng AM và AN trùng nhau hay M, A, N thẳng hàng. [1]
AM = AN [vì cùng bằng BC] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: A là trung điểm của MN.