Câu 5 trang 99 SGK Hình học 10
Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:
a] \[a = b \cos C + c \cos B\]
b] \[\sin A = \sin B.\sin C + \sin C.\cos B\]
c] \[h_a=2R.\sin B\sin C\]
Trả lời:
a] Trong tam giác \[ABC\], theo định lí cosin ta có:
\[\left\{ \matrix{
\cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr
\cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.\]
Ta có:
\[\eqalign{
& b\cos C + c\cos B = b[{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}] + c[{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}] \cr
& = {{2{a^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2a}} \cr} \]
Vậy \[a = b \cos C + c \cos B\]
b] Trong tam giác \[ABC\] , theo định lí sin:
\[\eqalign{
& {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr
& \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\sin B = {b \over {2R}},\sin C = {c \over {2R}} \cr} \]
Ta có:
\[\eqalign{
& \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr
& = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr
& = {a \over {2R}} = \sin A \cr} \]
c] Ta lại có: \[a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}\]
mà \[S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a} = {{2bc} \over {4R}} = {{bc} \over {2R}}[2]\]
Thế \[b = 2RsinB, c = 2Rsin C\] vào [2] ta được:
\[{h_a} = {{2R{\mathop{\rm sinB}\nolimits} .2RsinC} \over {2R}} \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C\]
Câu 6 trang 99 SGK Hình học 10
Cho các điểm \[A[2; 3]; B[9; 4]; M[5; y]; P[x; 2]\]
a] Tìm \[y\] để tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\]
b] Tìm \[x\] để ba điểm \[A, P\] và \[B \]thẳng hàng
Trả lời:
a] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} = [ - 3;3 - y] \hfill \cr
\overrightarrow {MB} = [4;4 - y] \hfill \cr} \right.\]
Tam giác \[AMB\] vuông tại \[M\] nên \[\overrightarrow {MA} \bot \overrightarrow {MB} \]
Suy ra:
\[\eqalign{
& - 3.4{\rm{ }} + \left[ {3-y} \right]\left[ {4-y} \right] = 0 \cr
& \Leftrightarrow {y^2} - 7y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 0 \hfill \cr
y = 7 \hfill \cr} \right. \cr} \]
b] Ta có:
\[\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AP} = [x - 2, - 1] \hfill \cr
\overrightarrow {AB} = [7,1] \hfill \cr} \right.\]
Để ba điểm \[A, P\] và \[B\] thẳng hàng thì \[\overrightarrow {AP} = k\overrightarrow {AB} \]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 2 = 7k \hfill \cr
- 1 = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 5 \hfill \cr
k = - 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow x = - 5\]
Câu 7 trang 99 SGK Hình học 10
Cho tam giác \[ABC\] với \[H\] là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng \[AB, BH\] và \[AH\] lần lượt là: \[4x + y 12 = 0, 5x 4y 15 = 0\] và \[2x + 2y 9 = 0\]
Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.
Trả lời:
Tọa độ đỉnh \[A\] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A[{5 \over 2},2]\]
Đường thẳng \[BH : 5x 4y 15 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow u = [4,5]\]
Cạnh \[AC\] vuông góc với \[BH\] nên nhận vecto u làm một vecto pháp tuyến, \[AC\] đi qua \[A[{5 \over 2},2]\]và có vecto pháp tuyến \[\overrightarrow u = [4,5]\] nên có phương trình là:
\[4.[x - {5 \over 2}] + 5[y - 2] = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0\]
Tương tự, tọa độ đỉnh \[B\] là nghiệm của hệ:
\[\left\{ \matrix{
4x + y - 12 = 0 \hfill \cr
6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow B[3,0]\]
\[AH: 2x + 2y 9 = 0\] có vecto chỉ phương \[\overrightarrow v = [ - 2,2] = 2[ - 1,1]\]
\[BC\] vuông góc với \[AH\] nên nhận vecto \[\overrightarrow {v'} = [ - 1,1]\] làm vecto pháp tuyến, phương trình \[BC\] là:
\[ - 1[x - 3] + [y - 0] = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0\]
Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\left\{ \matrix{
5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr
2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow H[{{11} \over 3},{5 \over 6}]\]
Đường cao \[CH\] đi qua \[H\] và vuông góc với \[AB\]
Hoàn toàn tương tự, ta viết được phương trình của \[CH\]:
\[CH: 3x 12y 1= 0\]
Câu 8 trang 99 SGK Hình học 10
Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng
\[Δ :4x + 3y 2 = 0\] và tiếp xúc với đường thẳng
\[d_1: x + y 4 = 0\] và \[d_2:7x y + 4 = 0\]
Trả lời:
Ta biết đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc tù thì có tâm nằm trên đường phân giác của góc đó.
Tâm \[I\] của đường tròn cần tìm là giao điểm của \[Δ\] với các đường phân giác của các góc đo do hai đường thẳng \[d_1\]và \[d_2\]tạo thành.
Phương trình hai đường thẳng phân giác của các góc do \[d_1\]và \[d_2\]tạo thành là:
\[{{x + y + 4} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \pm {{7x - y + 4} \over {\sqrt {{7^2} + {1^2}} }}\]
Rút gọn, ta được phương trình hai phân giác:
\[p_1: x 3y 8 = 0\]
\[p_2: 3x + y + 8 = 0\]
Tâm \[I \] của đường tròn có tọa độ là nghiệm của hệ:
\[[I]\left\{ \matrix{
x - 3y - 8 = 0 \hfill \cr
4x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right.;[II]\left\{ \matrix{
3x + y + 8 = 0 \hfill \cr
4x + 3y - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\]
Hệ [I] cho ta nghiệm là \[I_1[2; -2]\]
Hệ [II] cho ta nghiệm là \[I_2[-4; 6]\]
Bán kính \[R\] là khoảng cách từ \[I\] đến một cạnh, tức là đến đường thẳng \[d_1\][hoặc \[d_2\]] nên:
_ Với tâm \[I_1[2; -2]\] \[\Rightarrow {R_1} = {{|2 - 2 + 4|} \over {\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \]
Và được đường tròn \[[C_1]: [x 2]^2+ [y + 2]^2= 8\]
_ Với tâm \[I_2[-4; 6]\] \[\Rightarrow {R_2} = {{| - 4 + 6 + 4|} \over {\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \]
Và được đường tròn \[[C_2]: [x + 4]^2+ [y 6]^2= 18\]
Câu 9 trang 99 SGK Hình học 10
Cho elip \[[E]\] có phương trình: \[{{{x^2}} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1\]
a] Hãy xác định tọa độ các đỉnh, các tiêu điểm của elip \[[E]\] và vẽ elip đó
b] Qua tiêu điểm của elip dựng đường thẳng song song với \[Oy\] và cắt elip tại hai điểm \[M\] và \[N\]. Tính độ dài đoạn thẳng \[MN\].
Trả lời:
a] Ta có: \[a^2= 100 a = 10\]
\[b^2= 36 b = 6\]
\[c^2= a^2 b^2= 64 c = 8\]
Từ đó ta được: \[A_1[-10; 0], A_2[10; 0], B_1[0; -3], B_2[0;3], F_1[-8; 0], F_2[8; 0]\]
b] Thế \[x = 8\] vào phương trình của elip ta được:
\[{{64} \over {100}} + {{{y^2}} \over {36}} = 1 \Rightarrow y = \pm {{18} \over 5}\]
Ta có: \[{F_2}M = {{18} \over 5} \Rightarrow MN = {{36} \over 5}\]