Bài 5 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao
Một hình bình hành có hai cạnh nằm trên hai đường thẳng x + 3y - 6 = 0 và 2x - 5y - 1 = 0. Biết hình bình hành đó có tâm đối xứng là I[3, 5]. Hãy viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó.
Giải
Giả sử hình bình hành ABCD có tâm I
\[\eqalign{
& AB:\,\,x + 3y - 6 = 0 \cr
& AD:\,\,2x - 5y - 1 = 0 \cr} \]
Tọa độ của A là nghiệm của hệ
\[\left\{ \matrix{
x + 3y - 6 = 0 \hfill \cr
2x - 5y - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 3\, \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[A[3 ; 1]\].
I là trung điểm của AC nên
\[\left\{ \matrix{
{x_I} = {1 \over 2}[{x_A} + {x_C}] \hfill \cr
{y_I} = {1 \over 2}[{y_A} + {y_C}] \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_C} = 2{x_I} - {x_A} = 3 \hfill \cr
{y_C} = 2{y_I} - {y_A} = 9 \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[C[3 ; 9]\].
BC là đường thẳng qua C và song song với AD nên BC có phương trình:
\[2[x - 3] - 5[y - 9] = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,2x - 5y + 39 = 0\]
CD là đường thẳng qua C và song song với AB nên CD có phương trình:
\[1[x - 3] + 3[y - 9] = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,x + 3y - 30 = 0\]
Vậy hai cạnh còn lại của hình bình hành là
\[2x - 5y + 39 = 0\] và \[x + 3y - 30 = 0\]
Bài 6 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho phương trình
\[{x^2} + {y^2} + mx - 2[m + 1]y + 1 = 0.\,\,\,\,\,[1]\]
a] Với giá trị nào của m thì [1] là phương trình đường tròn?
b] Tìm tập hợp tâm của các đường tròn nói ở câu a].
Giải
a] Ta có: \[2a = m\,,\,2b = - 2[m + 1]\,,\,\,c = 1\]
\[\Rightarrow \,\,a = {m \over 2}\,,\,\,b = - [m + 1]\,,\,\,c = 1\]
[1] là đường tròn \[ \Leftrightarrow \,\,{a^2} + {b^2} - c > 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{{{m^2}} \over 4} + {[m + 1]^2} - 1 > 0\]
\[ \Leftrightarrow \,\,{5 \over 4}{m^2} + 2m > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{
m < - {8 \over 5}\, \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\]
b] Với điều kiện \[m < - {8 \over 5}\]hoặc m > 0 thì [1] là phương trình đường tròn có tâm \[I\left[ { - {m \over 2}\,;\,m + 1} \right]\].
Ta có tọa độ của I
\[\left\{ \matrix{
x = - {m \over 2} \hfill \cr
y = m + 1 \hfill \cr} \right.\]
Khử m từ hoành độ và tung độ của I ta được \[2x + y - 1 = 0\]vì \[m < - {8 \over 5}\]hoặc m > 0nên \[x = - {m \over 2} > {4 \over 5}\]hoặc \[x < 0\] .
Vậy tập hợp tâm I của đường tròn là
\[\left\{ \matrix{
2x + y - 1 = 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < 0 \hfill \cr
x > {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\, \hfill \cr} \right.\]
Bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
a] Biết đường tròn [C] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\]Chứng minh rằng phương tích của điểm \[M[{x_0};{y_0}]\] đối với đường tròn [C] bằng \[x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.\]
b] Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng [gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn].
Giải
a] Đường tròn [C] có tâm I[-a, -b] ,bán kính \[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \]
Phương tích của điểm \[M[{x_0};{y_0}]\]đối với đường tròn [C] là
\[\eqalign{
& {\wp _{{M_{{/_{[C]}}}}}} = M{I^2} - {R^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {[{x_o} + a]^2} + {[{y_o} + b]^2} - [{a^2} + {b^2} - c] \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x_o^2 + y_o^2 + 2a{x_o} + 2b{y_o} + c \cr} \]
b] Cho hai đường tròn không đồng tâm
\[\eqalign{
[{C_1}]\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} \cr
[{C_2}]\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} \cr} \]
Gọi \[M[{x_0};{y_0}]\]là điểm có cùng phương tích đối với \[[{C_1}]\]và \[[{C_2}]\]thì
\[\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,x_o^2 + y_o^2 + 2{a_1}{x_o} + 2{b_1}{y_o} + {c_1} = x_o^2 + y_o^2 \cr&+ 2{a_2}{x_o} + 2{b_2}{y_o} + {c_2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,2[{a_1} - {a_2}]{x_o} + 2[{b_1} - {b_2}]{y_o} + {c_1} - {c_2} = 0\,\,\,[1] \cr} \]
Vì \[[{C_1}]\]và\[[{C_2}]\]không đồng tâm nên \[{a_1} - {a_2}\]và \[{b_1} - {b_2}\]không đồng thời bằng 0 [ tức \[{[{a_1} - {a_2}]^2} + {[{b_1} - {b_2}]^2} \ne 0\]]
Do đó \[M[{x_0};{y_0}]\]nằm trên đường thẳng có phương trình:
\[\Delta \,\,:\,\,2[{a_1} - {a_2}]x + 2[{b_1} - {b_2}]y + {c_1} - {c_2} = 0\]
Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Δ.
Bài 8 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hai đường tròn có phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} = 0\]và \[{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} = 0.\] Giả sử chúng cắt nhau ở hai điểm M,N. Viết phương trình đường thẳng MN.
Giải
Hai đường tròn cắt nhau tại M, N thì trục đẳng phương của chùng chính là đường thẳng MN.
Áp dụng bài 7 thì MN có phương trình là
\[MN\,:\,\,2[{a_1} - {a_2}]x + 2[{b_1} - {b_2}]y + {c_1} - {c_2} = 0\]