Bài 5 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Tính\[ \frac{f'[1]}{\varphi '[1]}\], biết rằng \[f[x] = x^2\] và \[φ[x] = 4x +sin \frac{\pi x}{2}\].
Lời giải:
Ta có \[f'[x] = 2x\], suy ra \[f'[1] = 2\]
và \[φ'[x] = 4 + \left [ \frac{\pi x}{2} \right ]'. cos \frac{\pi x}{2} = 4 + \frac{\pi }{2}. cos \frac{\pi x}{2}\], suy ra \[φ'[1] = 4\].
Vậy\[ \frac{f'[1]}{\varphi '[1]}\]=\[ \frac{2}{4}\]=\[ \frac{1}{2}\].
Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \[x\]:
a] \[\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\];
b] \[{\cos ^2}\left [ \frac{\pi }{3}-x \right ]+ {\cos ^2}\left [ \frac{\pi }{3}+x \right ] + {\cos ^2}\left [ \frac{2\pi }{3}-x \right ]\] \[+{\cos ^2} \left [ \frac{2\pi }{3}+x \right ]-2\sin^2x\].
Lời giải:
a] Ta có:
\[y' = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x - 6{\sin ^3}x.\cos x\]
\[= 6{\sin ^3}x.\cos x[\sin^2 x - 1] + 6\sin x.\cos^3 x[1 - {\cos ^2}x]\]
\[= - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\].
Vậy \[y' = 0\] với mọi \[x\], tức là \[y'\] không phụ thuộc vào \[x\].
b]
\[y = {{1 + \cos \left[ {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right]} \over 2} + {{1 + \cos \left[ {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right]} \over 2} + {{1 + \cos \left[ {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right]} \over 2} \]
\[+ {{1 + \cos \left[ {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right]} \over 2} - 2{\sin ^2}x\]
Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được
\[y' =\sin \left [ \frac{2\pi }{3}-2x \right ] - \sin \left [ \frac{2\pi }{3}+2x \right ]+ \sin \left [ \frac{4\pi }{3}-2x \right ] - \sin \left [ \frac{4\pi }{3}+2x \right ]\]
\[- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin[-2x] + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin [-2x] -2\sin 2x \]
\[= \sin 2x + \sin 2x -2\sin 2x = 0\],
vì \[\cos \frac{2\pi }{3}\]= \[\cos \frac{4\pi }{3}\]=\[ -\frac{1}{2}\].
Vậy \[y' = 0\] với mọi \[x\], do đó \[y'\] không phụ thuộc vào \[x\].
Bài 7 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Giải phương trình \[f'[x] = 0\], biết rằng:
a] \[f[x] = 3\cos x + 4\sin x + 5x\];
b] \[f[x] = 1 - \sin[π + x] + 2\cos \left [ \frac{2\pi +x}{2} \right ]\].
Lời giải:
a] \[f'[x] = - 3\sin x + 4\cos x + 5\]. Do đó
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\]
\[\Leftrightarrow\frac{3}{5}\sin x - \frac{4}{5}\ cos x = 1\]. [1]
Đặt \[\cosφ = \frac{3}{5}\], \[\left[φ \left [ 0;\frac{\pi }{2} \right ]\right ] \Rightarrow \sinφ = \frac{4}{5}\], ta có:
[1] \[\Leftrightarrow\sin x.\cosφ - \cos x.\sinφ = 1 \Leftrightarrow\sin[x -φ] = 1\]
\[\Leftrightarrow x -φ = \frac{\pi }{2} + k2π \Leftrightarrowx =φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k \mathbb Z\].
b] \[f'[x] = - \cos[π + x] - \sin \left [\pi + \frac{x}{2} \right ] = \cos x + \sin \frac{x }{2}\]
\[f'[x] = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow\sin \frac{x }{2} = -cosx\]
\[\Leftrightarrowsin \frac{x }{2} = sin \left [x-\frac{\pi}{2}\right ]\]
\[\Leftrightarrow \frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+k2π\] hoặc\[ \frac{x }{2} =π - x+\frac{\pi}{2}+ k2π\]
\[\Leftrightarrow x =π - k4π\] hoặc \[x =π + k \frac{4\pi }{3}\], \[[k \mathbb Z]\].
Bài 8 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11
Giải bất phương trình \[f'[x] > g'[x]\], biết rằng:
a] \[f[x] = x^3+ x - \sqrt2\], \[g[x] = 3x^2+ x + \sqrt2\] ;
b] \[f[x] = 2x^3- x^2+ \sqrt3\], \[g[x] = x^3+ \frac{x^{2}}{2} - \sqrt 3\].
Lời giải:
a] Ta có \[f'[x] = 3x^2+ 1\], \[g'[x] = 6x + 1\]. Do đó
\[f'[x] > g'[x] \Leftrightarrow 3x^2+ 1 >6x + 1 \Leftrightarrow3x^2- 6x >0\]
\[\Leftrightarrow3x[x - 2] > 0 \Leftrightarrowx > 2\] hoặc \[x > 0\]
\[\Leftrightarrowx [-;0] [2;+]\].
b] Ta có \[f'[x] = 6x^2- 2x\], \[g'[x] = 3x^2+ x\]. Do đó
\[f'[x] > g'[x] \Leftrightarrow 6x^2- 2x >3x^2+ x \Leftrightarrow 3x^2- 3x > 0\]
\[\Leftrightarrow 3x[x - 1] > 0 \Leftrightarrow x > 1\] hoặc \[x < 0\]
\[\Leftrightarrow x[-;0][1;+]\].