Bài 5 trang 29 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a] \[ tan [x - 150] = \frac{\sqrt{3}}{3}\];
b] \[ cot [3x - 1] = -\sqrt{3}\];
c] \[ cos 2x . tan x = 0\];
d] \[ sin 3x . cot x = 0\].
Giải
a]
Điều kiện\[x - 15^0\neq 90^0+k180^0\]hay\[x\neq 105^0+k.180^0.\]
\[tan [x - 15^0] = \frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow tan[x-15^0]=tan30^0\], với điều kiện:
Ta có phương trình\[tan [x - 15^0] = tan30^0\]
\[\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , [k \in \mathbb{Z}].\]
\[\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , [k \in \mathbb{Z}].\][thoả điều kiện]
Vậy nghiệm của phương trình là:\[x = 45^0 + k180^0 , [k \in \mathbb{Z}].\]
b]
\[cot [3x - 1] = -\sqrt{3}\], với điều kiện\[3x-1\neq k\pi [k\in \mathbb{Z}]\]hay\[x\neq \frac{1+k \pi}{3}[k\in \mathbb{Z}]\]
Ta có phương trình\[cot [3x - 1] = cot[-\frac{\pi }{6}]\]
\[\Leftrightarrow 3x-1=-\frac{\pi }{6}+k \pi, k\in \mathbb{Z}\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},[k\in \mathbb{Z}]\][thoả điều kiện]
Vậy nghiệm phương trình là\[x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+k.\frac{\pi }{3},[k\in \mathbb{Z}]\]
c]
\[cos2x.tanx=0 \Leftrightarrow \cos 2x.\frac{{\sin x}}{{\cos x}} = 0\], với điều kiện\[cosx\neq 0\]
\[\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi [k\in \mathbb{Z}]\], ta có phương trình:\[cos2x . sinx = 0\]
\[\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} cos2x=0\\ sinx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 2x=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ x=k\pi \end{matrix}[k\in \mathbb{Z}]\]
\[\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}\\ x=k \pi \end{matrix}[k\in \mathbb{Z}]\][thoả điều kiện]
Vậy nghiệm phương trình là:\[x=\frac{\pi }{4}+k.\frac{\pi }{2}[k\in \mathbb{Z}]\]hoặc\[x=k\pi [k\in \mathbb{Z}]\]
d]
\[sin 3x . cot x = 0\Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0\], với điều kiện\[sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k.\pi [k\in \mathbb{Z}]\]
Ta có phương trình \[sin3x.cos = 0\]
\[\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} sin3x=0\\ cosx=0 \end{matrix}\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} 3x=k\pi\\ x=\frac{\pi }{2}+k\pi \end{matrix} [k\in \mathbb{Z}]\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{k \pi}{3}\\ \\ x=\frac{\pi }{2}+k \pi \end{matrix}[k \in \mathbb{Z}]\]
So sánh với điều kiện ta thấy khi \[k = 3m,m \in \mathbb{Z}\] thì \[x = m\pi \Rightarrow \sin x = 0\] không thỏa điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm là:\[x=\frac{k \pi}{3}\]và\[x=\frac{\pi }{2}+k \pi [k \neq 3m, m\in \mathbb{Z}]\]
Bài 6 trang 29 sgk giải tích 11
Với những giá trị nào của \[x\] thì giá trị của các hàm số \[y = tan [ \frac{\pi}{4}- x]\]và \[y = tan2x\] bằng nhau?
Giải:
Giá trị của các hàm số:\[tan\left [ \frac{\pi }{4}-x \right ]\]và\[y=tan 2x\]bằng nhau khi:
Ta có\[tan\left [ \frac{\pi }{4}-x \right ]=tan2x \Leftrightarrow 2x=\frac{\pi }{4}-x+k\pi\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}[k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z}]\]
Vậy phương trình có nghiệm:
\[x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi}{3}[k\neq 3m-1,m\in \mathbb{Z}]\]
Bài 7 trang 29 sgk giải tích 11
Giải các phương trình sau:
a] \[sin 3x - cos 5x = 0\] ;
b] \[tan 3x . tan x = 1\].
Đáp án :
a]
\[sin 3x - cos 5x = 0 \Leftrightarrow cos 5x = sin 3x\]
\[\Leftrightarrow cos 5x = cos [\frac{\pi }{2} - 3x]\]
\[\Rightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} 5x= \frac{\pi }{2}-3x+k2 \pi \\ \\ 5x =- \frac{\pi }{2}+3x +k2 \pi \end{matrix} [k\in \mathbb{Z}]\]
\[\Leftrightarrow \Bigg \lbrack\begin{matrix} x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} \\ \\ x=-\frac{\pi }{4} +k\pi \end{matrix}, [k\in Z]\]
Vậy nghiệm phương trình là:\[x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4} [k\in Z]\]và\[x=-\frac{\pi }{4} +k\pi, [k\in \mathbb{Z}]\]
b]
\[tan 3x . tan x = 1\]
Điều kiện:\[\left\{\begin{matrix} cos3x \neq 0\\ \\ cosx \neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\neq \frac{\pi }{6}+k.\frac{\pi }{3}\\ \\ x\neq \frac{\pi }{2} +k.\pi \end{matrix}\right. [k\in \mathbb{Z}]\]
\[tan3x.tanx=1\Rightarrow tan3x=\frac{1}{tanx}\Rightarrow tan3x=cotx\]
\[\Leftrightarrow tan3x=tan\left [ \frac{\pi }{2}-x \right ]\]
\[\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi }{2}-x+k \pi[k\in \mathbb{Z}]\]
\[\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\][thoả điều kiện]
Vậy nghiệm phương trình là\[x=\frac{\pi }{8}+\frac{k \pi }{4}, k \in \mathbb{Z}\].