Bài 5 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Đơn giản biểu thức [ với a, b là những số dương]
a] \[{{{{\left[ {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right]}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }}\]
b] \[{{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}}\]
Giải
a] \[{{{{\left[ {\root 4 \of {{a^3}{b^2}} } \right]}^4}} \over {\root 3 \of {\sqrt {{a^{12}}{b^6}} } }} = {{{a^3}{b^2}} \over {\root 6 \of {{a^{12}}{b^6}} }} = {{{a^3}{b^2}} \over {{a^2}b}} = ab\]
b] \[{{{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{7 \over 3}}}} \over {{a^{{1 \over 3}}} - {a^{{4 \over 3}}}}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}} - {a^{{5 \over 3}}}} \over {{a^{{2 \over 3}}} + {a^{ - {1 \over 3}}}}} = {{{a^{{1 \over 3}}}\left[ {1 - {a^2}} \right]} \over {{a^{{1 \over 3}}}\left[ {1-a} \right]}} - {{{a^{ - {1 \over 3}}}\left[ {1 - {a^2}} \right]} \over {{a^{ - {1 \over 3}}}\left[ {a + 1} \right]}}\]
\[= \left[ {1 + a} \right] - \left[ {1 - a} \right] = 2a.\]
Bài 6 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
So sánh các số
a] \[\sqrt 2 \] và \[\root 3 \of 3 \]; b] \[\sqrt 3 + \root 3 \of {30} \] và \[\root 3 \of {63} \];
c] \[\root 3 \of 7 + \sqrt {15} \] và \[\sqrt {10} + \root 3 \of {28} \];
Giải
a] Ta có \[{\left[ {\sqrt 2 } \right]^6} = {2^3} = 8\]; \[{\left[ {\root 3 \of 3 } \right]^6} = {3^2} = 9\]
Do 9>8 nên ta có \[{\left[ {\sqrt 2 } \right]^6}\]< \[{\left[ {\root 3 \of 3 } \right]^6}\], suy ra \[\sqrt 2 \] < \[\root 3 \of 3 \].
b] \[\sqrt 3 + \root 3 \of {30} > 1 + \root 3 \of {27} = 4 = \root 3 \of {64} > \root 3 \of {63} \].
c] \[\root 3 \of 7 + \sqrt {15} < 2 + 4 = 3 + 3 < \sqrt {10} + \root 3 \of {28} \].
Bài 7 trang 76 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Chứng minh \[\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\]
Giải
Đặt \[x = \root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \]Ta có:
\[{x^3} = \left[ {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right]^3\]
\[ = 7 + 5\sqrt 2 + 7 - 5\sqrt 2 \]
\[+ 3\root 3 \of {{{\left[ {7 + 5\sqrt 2 } \right]}^2}} .\root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } \]
\[+ 3\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } .\root 3 \of {{{\left[ {7 - 5\sqrt 2 } \right]}^2}} \]
\[ = 14 - 3\left[ {\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } } \right] = 14 - 3x\].
Từ đó suy ra: \[{x^3} + 3x - 14 = 0\,\,\,\,\left[ 1 \right]\]
\[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow \left[ {x - 2} \right]\left[ {{x^2} + 2x + 7} \right] = 0 \]
\[\Leftrightarrow x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\] [ vì \[{x^2} + 2x + 7 > 0\]]
Vậy \[\root 3 \of {7 + 5\sqrt 2 } + \root 3 \of {7 - 5\sqrt 2 } = 2\]
Bài 8 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao
Đơn giản biểu thức:
a] \[{{\sqrt a - \sqrt b } \over {\root 4 \of a - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a + \root 4 \of b }}\];
b] \[{{a - b} \over {\root 3 \of a - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }}\];
c] \[\left[ {{{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right]:{\left[ {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right]^2};\]
d] \[{{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a + \root 4 \of a } \over {\sqrt a + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1.\]
Giải
a] \[{{\sqrt a - \sqrt b } \over {\root 4 \of a - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a + \root 4 \of b }} = {{\left[ {\root 4 \of a + \root 4 \of b } \right]\left[ {\root 4 \of a - \root 4 \of b } \right]} \over {\root 4 \of a - \root 4 \of b }} - {{\root 4 \of a \left[ {\root 4 \of a + \root 4 \of b } \right]} \over {\root 4 \of a + \root 4 \of b }}\]
\[ = \root 4 \of a + \root 4 \of b - \root 4 \of a = \root 4 \of b \]
b] \[{{a - b} \over {\root 3 \of a - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }} = {{{{\left[ {\root 3 \of a } \right]}^3} - {{\left[ {\root 3 \of b } \right]}^3}} \over {\root 3 \of a - \root 3 \of b }} - {{{{\left[ {\root 3 \of a } \right]}^3} + {{\left[ {\root 3 \of b } \right]}^3}} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }}\]
\[ = \root 3 \of {{a^2}} + \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} - \left[ {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right]\]
\[= 2\root 3 \of {ab} \]
c] \[\left[ {{{a + b} \over {\root 3 \of a + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right]:{\left[ {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right]^2} \]
\[= \left[ {\root 3 \of {{a^2}} - \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} - \root 3 \of {ab} } \right]:{\left[ {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right]^2}\]
\[ = \left[ {\root 3 \of {{a^2}} - 2\root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right]:{\left[ {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right]^2}\]
\[= {\left[ {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right]^2}:{\left[ {\root 3 \of a - \root 3 \of b } \right]^2} = 1\]
d] \[{{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a + \root 4 \of a } \over {\sqrt a + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1. \]
\[= {{\left[ {\sqrt a + 1} \right]\left[ {\sqrt a - 1} \right]} \over {\sqrt a \left[ {\root 4 \of a + 1} \right]}}.{{\root 4 \of a \left[ {\root 4 \of a + 1} \right]} \over {\left[ {\sqrt a + 1} \right]}}.\root 4 \of a + 1\]
\[ = \sqrt a - 1 + 1 = \sqrt a \]