Bài 5.13 trang 221 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Với số a dương và khác 1, giả sử có ba hàm số:
\[s[x] = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2};c[x] = {{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2};t[x] = {{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}\]
Hãy chứng minh rằng:
a] \[{c^2}[x] - {s^2}[x] = 1\]
b] \[s[2x] = 2s[x]c[x]\]
c] \[c[2x] = 2{c^2}[x] - 1 = 2{s^2}[x] + 1 = {c^2}[x] + {s^2}[x]\]
d] \[t[2x] = {{2t[x]} \over {1 + {t^2}[x]}}\]
Hướng dẫn làm bài
Với a dương và khác 1, ta có:
a] \[{c^2}[x] - {s^2}[x] = {[{{{a^x} + {a^{ - x}}} \over 2}]^2} - {[{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over 2}]^2}\]
\[= {{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2 - {a^{2x}} - {a^{ - 2x}} + 2} \over 4} = {4 \over 4} = 1\]
d] \[t[2x] = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}\]. Mặt khác, ta có:
\[1 + {t^2}[x] = 1 + {[{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}]^2} = {{2[{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}]} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2}}\]
Ta biến đổi vế phải
\[{{2t[x]} \over {1 + {t^2}[x]}} = 2{{{a^x} - {a^{ - x}}} \over {{a^x} + {a^{ - x}}}}.{{{a^{2x}} + {a^{ - 2x}} + 2} \over {2[{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}]}}\]
\[= {{2[{a^x} - {a^{ - x}}]{{[{a^x} + {a^{ - x}}]}^2}} \over {2[{a^x} + {a^{ - x}}][{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}]}} = {{{a^{2x}} - {a^{ - 2x}}} \over {{a^{2x}} + {a^{ - 2x}}}}\]
Bài 5.14 trang 221 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Hãy biểu diễn:
a] \[{\log _{30}}8\] qua \[a = {\log _{30}}3\]và \[b = {\log _{30}}5\];
b] \[{\log _9}20\]qua \[a = \log 2\] và \[b = \log 3\]
Hướng dẫn làm bài
a] Ta có
\[{\log _{30}}8 = {\log _{30}}{2^3}\]
\[= 3{\log _{30}}2 \]
\[= 3.{\log _{30}}{{30} \over {15}}\]
\[= 3[{\log _{30}}30 - {\log _{30}}[3.5]]\]
\[= 3[1 - {\log _{30}}3 - {\log _{30}}5] = 3[1 - a - b]\]
b] Chuyển sang cơ số 10. Sau khi biến đổi, ta được \[{\log _9}20 = {{1 + a} \over {2b}}\].
6
Bài 5.15 trang 221 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{[{{13} \over {24}}]^{3x + 7}} = {[{{24} \over {13}}]^{2x + 3}}\]
b] \[{[4 - \sqrt {15} ]^{\tan x}} + {[4 + \sqrt {15} ]^{\tan x}} = 8\]
c] \[{[\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } ]^x} + {[\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } ]^x} = 13\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Phương trình đã cho tương đương với
\[{\left[ {{{13} \over {24}}} \right]^{3x + 7}} = {\left[ {{{13} \over {24}}} \right]^{ - \left[ {2x + 3} \right]}}\]
\[\Leftrightarrow3x + 7 = 2x 3\Leftrightarrowx = 2\]
b] Vì \[[4 - \sqrt {15} ][4 + \sqrt {15} ] = 1\] nên ta đặt \[{[4 - \sqrt {15} ]^{\tan x}} = t[t > 0]\], ta được phương trình
\[\;{t^2}-{\rm{ }}8t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{t = 4 + \sqrt {15} } \cr {t = 4 - \sqrt {15} } \cr} } \right.\]
+] Ứng với \[t = 4 - \sqrt {15} \], ta có
\[{[4 - \sqrt {15} ]^{tanx}} = 4 - \sqrt {15}\]
\[\Leftrightarrow \tan = 1 \Leftrightarrowx = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z\]
+] Ứng với\[t = 4 + \sqrt {15} \] , ta có
\[{[4 - \sqrt {15} ]^{tanx}} = 4 + \sqrt {15}\]
\[ \Leftrightarrow\tan = - 1 \Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z\]
Vậy phương trình có nghiệm\[x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2},k \in Z\]
c] Ta nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình. Mặt khác, hàm số
\[f[x] = {[\root 3 \of {6 + \sqrt {15} } ]^x} + {[\root 3 \of {7 - \sqrt {15} } ]^x}\]
Là tổng của hai hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 [hai hàm số đồng biến] nên f[x] đồng biến trên R. Do đó, x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài 5.16 trang 221 sách bài tập [SBT] - Giải tích 12
Giải các phương trình sau:
a] \[{5^{\cos [3x + {\pi \over 6}]}} = 1\] b] \[{6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\]
c] \[{7^{{x^2}}}{.5^{2x}} = 7\] d] \[{\log _4}[x + 2]{\log _x}2 = 1\]
e] \[{{{{\log }_3}x} \over {{{\log }_9}3x}} = {{{{\log }_{27}}9x} \over {{{\log }_{81}}27x}}\] f] \[{\log _3}x + {\log _4}[2x - 2] = 2\]
Hướng dẫn làm bài:
a] Vì 1 = 50 nên ta có\[{5^{\cos [3x + {\pi \over 6}]}} = 1 \Leftrightarrow 6\cos [3x + {\pi \over 6}] = 0\]
\[\Leftrightarrow3x + {\pi \over 6} = {\pi \over 2} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 9} + k{\pi \over 3}[k \in Z]\]
b] \[{6.4^x} - {13.6^x} + {6.9^x} = 0\] [1]
Vì \[{4^x},{6^x},{9^x}\]đều khác 0 với mọi \[x \in R\]nên chia cả hai vế của phương trình [1] cho \[{4^x}\]hoặc \[{6^x}\]hoặc \[{9^x}\], ta được phương trình tương đương.
Chia cả hai vế cho \[{6^x}\], ta có:\[[1] \Leftrightarrow 6.{[{2 \over 3}]^x} - 13 + 6.{[{3 \over 2}]^x} = 0\]
Đặt\[{[{2 \over 3}]^x} = t[t > 0]\], ta có:
\[6t - 13 + {6 \over t} = 0 \Leftrightarrow 6{t^2} - 13t + 6 = 0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{t = {3 \over 2}} \cr {t = {2 \over 3}} \cr} } \right.\]
+] Với \[t = {2 \over 3}\]ta có \[{[{2 \over 3}]^x} = {2 \over 3} \Leftrightarrowx = 1\]
+] Với \[t = {3 \over 2}\]ta có \[{[{2 \over 3}]^x} = {3 \over 2} \Leftrightarrowx = - 1\]
c] Logarit hóa hai vế theo cơ số 7, ta được:
\[{x^2} + 2x.{\log _7}5 - 1 = 0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{x = - {{\log }_7}5 - \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr {x = - {{\log }_7}5 + \sqrt {\log _7^25 + 1} } \cr} } \right.\]
d]\[{\log _4}[x + 2].{\log _x}2 = 1\]
Điều kiện: \[\left\{ \matrix{x + 2 > 0 \hfill \cr x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x > 0 \hfill \cr x \ne 1 \hfill \cr} \right.\]
\[1] \Leftrightarrow{1 \over 2}{\log _2}[x + 2].{1 \over {{{\log }_2}x}} = 1 \Leftrightarrow{\log _2}[x + 2] = {\log _2}{x^2}\]
\[\Leftrightarrow{x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow\left[ {\matrix{{x = - 1[loại]} \cr {x = 2} \cr} } \right.\]
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.
e] Điều kiện: x > 0
Đổi sang cơ số 3 và đặt \[{\log _3}x = t\], ta được phương trình: \[{t \over {1 + t}} = {{2[2 + t]} \over {3[3 + t]}}\]
Giải phương trình ẩn t, ta được \[{t_1} = 1,{t_2} = - 4\]
Vậy phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = 3;{x_2} = {1 \over {81}}\]
g] Điều kiện:
\[\left\{ {\matrix{{x > 0} \cr {2x - 2 > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrowx > 1\]
Đặt \[{\log _3}x + {\log _4}[2x - 2] = f[x]\]
Dễ thấy f[x] là hàm số đồng biến. Mặt khác f[3] = 2 nên ta có:
f[x] > f[3] = 2 với x > 3 và f[x] < f[3] = 2 với 1 < x < 3.
Từ đó suy ra x = 3 là nghiệm duy nhất.